CHAPITRE PREMIER. Il

produits de deux lignes; et léqualion trouvée parDescartes ne s'élève alors qu'au second degré, soit que dans chaque produit les deux facteurs soient inégaux, soit que dans l'un ils soient égaux, ce qui arrive lorsque les deux droites fixes se confondent; 11 prouva qu'alors le lieu pouvait être Tune quelconque des trois sections coniques.

Nous ne le suivrons pas dans ce qu'il dit des cas plus compliqués, ni dans la classification qu'il établit pour les courbes.

Si nous avons parlé de ce problème, c'est parce que Descartes l'a choisi pour la première application de sa conception générale; et nous allons reprendre l'exposition régulière des éléments de la science.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SLR LA RECIIEHCUE DES É()l ATIOXS DES LIELX r.ÉOMÉTRIQlES.

<S;2. Lorsque l'on cherche à exprimer par des équations foutes les conditions géométriques qui doivent déterminer les points d'un lieu, on est souvent obligé d'introduire, outre les coordonnées du point quelconque que l'on considère et des grandeurs qui en dépendent et sont désignées dans l'énoncé, d'autres quantités non désignées et qui peuvent servir d'intermédiaires utiles. L'important est que toutes les conditions imposées soient remplies, et qu'on n'en introduise pas de nouvelles. Il est évident en effet que, si l'on assujettit les points d'un lieu à plus de conditions que n'en exige l'énoncé, on peut perdre une partie de ce lieu, et peut-être même le lieu tout entier, si aucun de ses points ne remplit à la fois les conditions de l'énoncé et en outre celles qu'on y aurait ajoutées par mégarde : comme aussi l'on pourrait avoir des points ou même des lieux étrangers à la question si l'on avait négligé d'exprimer exactement toutes les conditions imposées par l'énoncé.

11 est quelquefois dil'ficile d'obtenir des é(]ualions qui Dm. — Met h. m. ,S

Ii4 ÉTinr, DES r.oinBF.s.

présentent cette j'éciprocilé si désirable ; mais il l'aut du

moins ne pas l'Ignorer, cjuand on ne peut faii-e autrement,

et l'on devra toujours s'assurer si les équations sont des

conséquences nécessaires de l'énoncé, et réciproquement

si les conditions de l'énoncé en seront des conséquences

nécessaires.

Lorsque toutes les équations ont été établies entre les coordonnées x el y d'un point quelconque du lieu, et les grandeurs variables avec ces coordonnées, désignées dans l'énoncé ou introduites comme auxiliaires, il faut en éliminer toutes les variables autres que x etj-, et l'équation finale qui ne renfermera que ces deux dernières variables sera ce qu'on appelle Véquation du lieu.

Mais il faudra, dans le courant de ce calcul, veiller avec beaucoup de soin à ce qu'aucune solution étrangère ne s'introduise, et cju'aucune solution réelle ne se perde. Ces discussions sont quelquefois difficiles; mais, si on les néglige, on n'est pas complètement assuré du résultat. Il peut arriver que l'on reconnaisse dans ce résultat des solutions qui ne conviennent pas à la question, ou qu'on s'aperçoive (ju'il en manque que l'on devrait y trouver. On recherche alors la cause de ces erreurs, mais il est toujours mieux de les reconnaître dès qu'elles s'introduisent, si, comme cela peut arriver, il n'est pas possible de les éviter.

83. Une condition géométrique peut être très simplement énoncée d'une manière générale tandis que l'équation qu'on trouve en cherchant à l'exprimer ne s'applique inià une partie des cas qu'elle comporte, et doit subir certaines modifications pour s'appliquer aux autres. Dans ce cas, si l'on ne prenait que l'une des formes de cette équation, faute d'avoir suffisamment discuté toutes les circonstances possibles, on perdrait les solutions correspondantes aux formes négligées. C'est pour éviter l'embarras