CHAPITRE PREMIEIl. IIJ

de ces diverses formes que nous ;ivon> tant inslsh'' sur la généralisation des formules; car, en renfermant toutes ces formes dans une seule, quand cela est possible, à certaines conditions, un seul calcul donne aux mêmes conditions un résultat qui renferme tous les autres.

Pour éclairer ceci par un exemple simple, supposons qu'on demande Vdquation du lieu des points </ui, dans un plan donné, sont à une même distance d'un point donné.

Rapportons les positions à deux axes rectangulaires AX, W ifig. 17) pris dans ce plan, et comj)tons les x et y

sur les deux côtés qui comprennent dans leur angle le point donné. Désignons par a et b les coordonnées de ce point qui est le centre du cercle, et par R son ravon. La condition géométrique ([ui détermine tous les points du cercle est facile à énoncer, mais sa traduction en écjuation ne l'est pas autant. Nous avons reconnu en effet précédemment que l'expression de la distance de deux points prenait plusieurs formes différentes, suivant la position relative de ses extrémités, parce que cette distance est l'hypoténuse d'un triangle dont les deux côtés de l'angle droit sont tantôt la différence et tantôt la somme des coordonnées des extrémités. En égalant à R l'expression de cette distance, on pourrait donc être obligé de faire usage de plusieurs équations |)Our (ju'aucune partie du cercle ne fût

Ilb ÉTUDE DES COIRBES.

omise. C'est ce ([ui arrivera si ce cercle nesL pas loul entier l'enfermé dans le même angle que le centre. Si, par exemple, il coupait les deux axes des deux côtés de l'origine aux points B, C, D, E, on aurait quatre formes différentes pour l'équation, se rapportant respectivement aux points des quatre parties BC, CD, DE et EB. Mais par la discussion approfondie que nous avons faite précédemment de l'expression de la distance de deux points, il a été démontré qu'une seule forme peut convenir à toutes les positions des extrémités, soit de Tune par rapport à l'autre, soit même par rapport aux axes. Le moyen de généraliser ainsi cette formule a consisté à l'établir d'abord en supposant tous les points dans le même angle des axes, auquel cas les deux côtés du triangle rectangle sont les différences des coordonnées des extrémités, puis à regarder comme implicitement négatives les coordonnées qui changeront de direction.

Ainsi, X et )■ désignant les coordonnées d'un point quelconque de la partie CD du cercle, les deux côtés OP, MP seront les différences x — (i, y — b, ou a — x, b — y, et le carré de la distance sera x- — i ax + a- -\- y- — iby — bou {x — «O'+Cj' — l>)'i en entendant que, quand x — a ou )• — b seront négatifs, on effectuera toujours les calculs d'après les règles des signes démontrées pour les quantités non isolées.

On aura alors pour l'équation générale de tous les points du cercle

à la condition que les coordonnées négatives seront portées en sens contraires de celui qu'elles avaient dans la figure qui a servi à trouver celte équation, c'est-ù-dire sur les prolongements des axes AX, AY.

La généralisation, antérieurement faite, de la formule de

CIlAPITltE PREMirn. IIJ

la distance de deux points a donc permis de renfermer tons les points du lien dans une seule équation qui est nécessaire et suflisanle, qui comprend loules les solutions et n'en renferme pas d'étranjjères.

Cette équation (i) est donc ïct/iuilion générale lia cercle.

84. Équation du lieu des points tels, que le rapport de leurs distances à un point et une droite donnés soit constant.

Celte question va montrer encore qu'une condition géométrique générale ne s'exprime pas toujours naturellement par une seule formule, mais qu'il est besoin d'en considérer plusieurs, que Ton peut faire rentrer dans une seule par les moyens déjà employés.

Prenons pour origine le point donné A {fis:- i8), pour

axe des x la perpendiculaire ABX à la droite donnée BD, et pour axe des v une perpendiculaire A\ .

Soit AB:=rt, m le rapport donné, et considérons un point quelconque M du lieu; la condition donnée s'exprimera par l'équation générale