M, \M = /H.MP
Il ne reste jilus qu'à renq)laecr AM et .\P par des fonctions de \'x et de l'v du poinl M.
On a d'abord
AM = v/^^^ry^.
Quand à WP, son expression aura trois formes différentes suivant que M sera entre AY et BD, ou à droite de BD, ou enfin à gauche de AY.
Dans le premier cas l'on aura
MP = a — .r; dans le second,
iMP = .r — fl,
et enfin dans le troisième
MP =«-h,r.
L'équalion (i) se trouve donc remplacée par les trois suivantes :
\J x- -hjK^ = m {a — a"), ^x'^ H-J'- = ni(x — a), \,'.T^ -r- y- = /« ( a -!- X ),
soit que le point M sfiit pris au-dessus ou au-dessous de AX.
Si l'on rendces équations rationnelles, en élevant les deux
membres au carré, elles se réduiront aux deux suivantes :
(2) x^ -i- y- = /n^ { a — x)-, x- -^ y- = m'^ {a -i- xy- ,
et comme' elles ne diffèrent l'une de l'autre que par le signe des puissances impaires de x, on voit qu'on peut se borner à la première, en entendant que, lorsqu'on y donnera à x une valeur positive, on la portera dans le sens AX, et que lorsqu'on y mettra pour x une valeur négative, que l'on traitera suivant les règles des signes, démontrées dans le cas des polynômes seulement, on la portera du côté AX', et la valeur de y que donnera l'équation construira iMi point (hi lieu en la portant au-dessus ou audessous de l'axe des x.
CHMMTIîK PRF.MIKR. II9
On aura, en t'nleii(iaiil ainsi les solutions négatives, pour représenter tous les points du lieu, Téquation unique (2) qui, développée, devient
y- -T- T-(i — m- ) — lani-x — m- a- = o.
80. Equation (lu lieu des /lui/tts ('i^dlemenl dishmlx de deux points donnés .
Ce lieu est évidemment une ligne droite, et celte droite peut avoir une position quelconque dans le plan donné, en choisissant convenablement les deux points. Pour ohtenir l'équation du lieu de la manière la plus généi-ale, nous prendrons un système d'axes obliques, et nous supposerons les deux points placés d'une manière quelconque par i-apport à ces axes.
Soient AX, A Y {fig- 19) les deux axes, faisant entre eux un angle 8; B, B' les deux points donnés; a, b les
i-"ig- 'g-
coordonnées du premier; a', b' celles du second, et x, y celles d'un point quelconque M du lieu.
Nous avons donné précédemment la formule de la dislance de deux points en coordonnées obliques, et sa généralité a été démontrée sous la condition que les signes des coordonnées changeront avec leur direction. Nous aurons donc, quels que soient les signes de «, b, a', b' , x, y,
MB =(x — a)« -i-CjK— *)--!- 2(^ —«)(7 — 6)cosO,
MB =(jc~ a )*-i-(y —b' )'-^ 2.(x — a' )(y— b' )cos<).
120 ÉTLDE DES COURBES.
E)n égalant ces deux expressions, on aura exprimé la condition générale à laquelle doivent satisfaire les points du lieu; f! eouinie l'équation ne renfermera que les coordonnées d'un quelconque de ces points et des constantes données, ce sera celle du lieu cKerclié. On trouve ainsi, toute réduction faite,
[a — a -T-( /y — /> ) cos 0 ] .r -f- [ i' — 6 — 1 a' — a ) cos 0 ]j- = ■ ' '-{a 0 — ao)cosfi.
Cette équation pouvant rejjrésenter toutes les droites du plan, on en conclut que l'équation la plus générale de la ligne droite est du premier degré par rapport aux coordonnées variables de tous ses points. Et il est expressément entendu pour cela que toutes les quantités a, b, a', b', x,y sont de simples nombres quand les coordonnées qu'elles désignent sont dirigées respectivement suivant AX, AY ; mais que ce sont des nombres affectés du signe — quand ces coordonnées sont dans le sens opposé, et que ces nombres négatifs doivent être traités suivant les règles des signes des polynômes. Quant à cos9, il sera positif si l'angle 6 est aigu, et négatif s'il est obtus.
Nous n'entrerons dans aucun détail sur l'équation que nous venons d'obtenir, parce que la ligne droite est tellement mêlée'à l'étude de toutes les courbes, qu'elle demande une discussion spéciale que nous indiquerons plus tard. Nous n'avons pour objet, en ce moment, que de donner un nouvel exemple de la recberche de l'équation d'un lieu, avec la discussion complète de la généralité de la solution et des conditions de cette généralité.
