Exemple de solutions élrangères et de solutions perdues

Proposons-nous de trouxcr dans un |)lan donné If lieu

CHAVITUE l'REMIKU. 12 T

de tous les points doi'i Ion voirait sous un angle donné une droite donnée de grandeur et de position.

Soient B et C(fig. 20) les extrémités de la droite donnée, rf sa longueur et m la tangente Irigonométricjue de l'angle

donné. Raiiportons les points à deux axes rectangulaires AX, AY dont le premier soit parallèle à BC; désignons par a et b les coordonnées AD, DB du point B, par x et -)■ celles d'un point quelconque ^I du lieu; relies de C seront ff + rf et Ij.

Cela posé, si l'on abaisse de !\J la perpendiculaire MP sur BC, et que le point P tombe entre B et C, l'angle M sera la somme de deux autres avant rcspcclivemcnl j)our tan-

jr — a a -^ d — -^ r\ 1 t .ip

trentes , et ; — • Un aura donc, a après la ior-

mule générale de la tangente de la somme,

(y-bf-

Si le point P tombe en deliors de BC, par exemple en P',

l'angle BM'C sera la dilTérence de deux angles dont les tan-

pentes seront -, ,- et - — , ; Celle dernière a la

même forme au signe près que dans le premier cas; mais, comme elle doit être employée inversement, le résultat en ^'j )' sera le même que le premier en ^, j'. Tous les points du lieu qui sont au-dessus de BC satisferont donc à l'équation (i), qui devient, après réduction,

, d Y l (ly- d'- 1 I ^

équation qui est celle d'un cercle dont le centre a pour

coordonnées a -\ — et ^ -\ > et dont le carré du ravon

2 lin

est — ( I H ) • Les constructions qui en résultent sont

si simples, que nous ne nous v arrêterons pas. Mais ce qu'il est important de remarquer, c'est que le lieu représenté par l'équation (2) est un cercle entier, tandis qu'il n'y a que l'arc au-dessus de BC qui convienne aux conditions géométriques. Car de tous les points de l'arc inférieur la ligne BC sera vue sous un angle supplémentaire de celui qui est donné. Ces points constituent donc des solutions étrangères au problème de Géométrie proposé ; et cependant le calcul les introduit sans qu'il soit possible de l'éviter. Tout ce que l'on peut faire, c'est de reconnaître à quoi tient qu'il les introduise.

87. Mais commençons par achever la mise en équation (In problème proposé en considérant les points situés audessous de BC, et, pour éviter toute difficulté, prenons b assez grand pour que tous ces points soient au-dessus de l'axe des x.