CHAPITRE l'RF.MIF.n

Soit i\ un (jut'h'onque de ces points ; Faniilc BNÇ, qui doit encore avoir pour tangente m, se décomposera en deux autres, qui auront respectivement pour tangentes

, et — . ,

expressions identiques aux premières, au signe près. Et comme elles iloivent être traitées de la même manière, l'équation à laquelle on sera conduit difTércra de ( i ) par le signe du second membre, ou, ce qui est la même cliose, par le signe du premier, c'est-à-dire de m.

Il y a deux conséquences à tirer de là :

La première est que, si pour les points situés en dessous de BC on demandait que l'angle donné eût pour tangente — m au lieu de m, c'est-à-dire que BC fût vu sous l'angle supplémentaire, l'équation à laquelle on parviendrait serait précisément ( i ). Cela montre que cette dernière doit représenter un lieu tel que, pour les points au-dessus de BC, cette ligne est vue sous l'angle donné, et, pour les points au-dessous, sous l'angle supplémentaire. L'introduction forcée e ces solutions étrangères est donc expliquée.

La seconde conséquence est que, pour avoir la représentation complète du lieu géométrique, il faudrait deux équations, l'une, l'équation (a), pour les points au-dessus de BC, et 1 autre pour les points au-dessous, qui en différerait simplement par le signe de /«, et donnerait semblablement des solutions étrangères dans sa partie supérieure.

On pourraitbien sans doute formerune équation unique qui équivaudrait aux deux; il suffirait de multiplier les premiers membres l'un par l'autre, les seconds étant réduits à zéro; mais ce serait compliquer au lieu de simplifier : et toutes les fois au contraire qu'une équation peut se décomposer en deux autres, on effectue la séparation.

124 ÉTUDK DES COIRBES.

88. Reiiuiicjuc. — Dans cet exemple, on voit qu'on aurait perdu des solutions si l'on s'était borné à prendre un point au hasard, croyant qu'il peut les représenter tous, parce qu'on ne l'a pas expressément particularisé. Mais il ne suffit pas qu'on n'ait rien énoncé de particulier sur lui, pour qu'il puisse les représenter tous dans la suite du calcul, parce que les expressions qui se déduisent de la figure qui s'y rapporte peuvent ne pas rester les mômes pour toutes les dispositions des points. Nous insistons sur cette considération, parce qu'on s'expose à des difficultés quand on n'y a pas égard, et que les commençants sont trop disposés à croire qu'ils sont dans une généralité complète lorsqu'ils ne particularisent rien par le langage, tandis qu'ils le sont parleurs calculs et leurs raisonnements. Il est yrai que, quand les difficultés se présentent, on peut les lever en remontant à leur origine ; mais il vaut mieux les prévoir et les éviter. Et d'ailleurs on n'a pas toujours l'occasion de réparer une discussion incomplète ; et si l'on a perdu des solutions sans s'en apercevoir, il est très possible que rien n'en avertira dans les résultats du calcul.