SCIENCE DE L ÉTENDUE

facteurs linéaires, et l'autre en aura deux de plus au numérateur qu'au dénominateur; d'où résultera pour l'inconnue une expression fractionnaire dont le numérateur aura un facteur de plus que le dénominateur. Et il est évident que cela aura lieu quel que soit le nombre d'opérations semblables, puisque, si cette condition est remplie après un certain nombre de ces opérations, elle le sera, d'après notre raisonnement, après la suivante.

Or, si un terme d'une équation représente une ligne, tous les autres en représenteront aussi, car on n'a pas pu donner des conditions qui exigeraient qu'on ajoutât des lignes à des surfaces ou à des solides ; et si ces lignes ne sont exprimées que par une suite de quatrièmes proportionnelles, tous les termes auront un facteur linéaire de plus au numérateur qu'au dénominateur; d'oii il suit qur^ si l'on multiplie les deux membres par un même nombre fpielconque de ces facteurs, il y en aura dàl^ chaque terme un même nombre de plus au numérateur qu'au dénominateur. Et si l'on multiplie par tous ceux qui sont dans les divers dénominateurs, il v en aura un même nondire dans chaque terme.

Cette même circonstance aura lieu si l'équation provient de l'addition ou de la soustraction de surfaces de figures planes, car leurs aires se ramenant au triangle seront exprimées par des produits de deux lignes ; et si celles-ci proviennent d'une suite de quatrièmes jjroportionnelles, ces produits se présenteront sous forme de fractions ayant deux facteurs linéaires de plus au numérateur qu'au dénominateur. Si l'on niiilliplio ensuite ou qu'on divise les deux membres de I ('iinalKin par un mênic nombre de ces facteurs, l'excès sera toujours le même en chaque terme; et si l'on fait disparaître tous les dénominateurs, il y aura le même nombre de facteurs linéaires dans tous les termes de l'équation.

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Il est clair i|u on aurait des résultats analogues si l'équation venait d'additions ou de soustractions de volumes, parce que, leur mesure se faisant par des produits de trois lignes, tons les termes seraient composés de trois facteurs linéaires, ou, s'ils étaient fractionnaires, auraient trois facteurs de plus au numérateur qu'au dénominateur. Cet excès variei-a également par reffet de multiplications ou de divisions des deux nombres; et si les facteurs linéaires disparaissent de tous les dénominateurs, il v aura le même nombre dans tous les termes.

Enfin, si les quantités qui forment les termes de l'équation sont non des lignes, des surfaces ou des volumes, mais des rapports de ces quantités entre elles, tous les termes auront autant de facteurs linéaires au numérateur qu'au dénominateur; et si l'on fait disparaître ces derniers, le nombre de ces facteurs sera encore le même dans tous les ternies.

C'est à cette propriété générale qu'on a donné le nom A' homogénéité. On voit par quelles considérations on v a naturellement été conduit. Si l'on nomme degré d'un terme rationnel l'excès du nombre de facteurs linéaires du numérateur sur le nombre de ceux du dénominateur, elle s'énonce en disant que toute équation provenant de relations entre des quantités géométriques, sans qu'aucune d'elles ait été choisie pour unité, est composée de termes de même degré.

Toutes les équations d'une question étant homogènes, les combinaisons qu'on en fera pour en déduire les inconnues ne conduiront jamais qu'à des équations homogènes. Si, par exemple, on tire de Tune d'elles la valeur d'une ligne et qu'on la substitue dans les autres, i! est évident qu'il n'en résultera que des termes de même degré.

On pourrait croire cependant que la combinaison d'équations séparément homogènes conduirait quelquefois à

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des équations qui ne le seraient pas. Cela arriverait évidemment si Ton ajoutait membre à membre des équations homogènes de degrés différents. Mais c'est ce que l'on ne fera jamais, parce que l'on ne fait ces additions qu'en vue de réductions, qui ne seraient pas possibles entre termes de degrés différents. Une semblable addition n'offrirait rien d'absurde, mais n'aurait aucune utilité, et on ne la fera dans aucun cas.

3. Il est nécessaire de donner un peu d'extension à la définition de l'homogénéité, parce que nous n'avons supposé jusqu'ici que des expressions rationnelles, et l'on peut souvent avoir des racines à extraire, comme il peut se présenter dès le début des expressions radicales.

Par exemple, la moyenne proportionnelle entre les lignes représentées par les lettres «, b sera e^oirimée par \[ab. L'hvpolénuse du triangle rectangle dont les côtés sont a, b sera exprimée par y^a- -+- b'-. Il est donc nécessaire de donner une définition du degré des expressions radicales qui permette d'énoncer d'une manière générale la propriété dont nous nous occupons.

Or, comme en élevant une expression homogène de degré m à la puissance n on en obtient une de degré n fois plus grand mn,el que, par conséquent, si l'on extrait la racine ^lème (l'mic expression de degré mn, on obtient une expression de degré m quand l'extraction est possible, il est naturel de s'exprimer de la même manière quand l'opération ne peut être qu'indiquée, cl dédire que l'extraction de la racine d'une expression homogène divise son degré par celui de la racine. On admettra ainsi des degrés fractionnaires, et l'on pourra dire qu'en extrayant des deux membres d'une équation homogène une racine de même degré, il en résultera une nouvelle équation homogène.