C.II.VPITUE PREMIER

Si, par exemple, on avait

a'" = b'" -^ C", on aurait, en exlravant la racine n''""'",

qui sera une ecpiation homogène de degré —

Remarque Il est bon de remarquer qu'un polynôme

dont tous les termes sont de même degré peut toujours être transformé en un monôme de même degré. Car si l'on met enfacteur commun un monôme d'un degré moindre d'une unité, le polynôme sera le produit de ce facteur par un polynôme dont tous les termes seront du premier degré et représenteront des lignes qui pourront se construire par des quatrièmes proportionnelles. En faisant leur somme et la représentant par une lettre, le polynôme se trouvera transformé en un monôme du même degré. Ainsi , par exemple, a"'+b"' — c"' pourra se mettre sous la forme

On construira en le considérant comme décomposé

en ••-■ Un construira la troisième proportionnelle

— ; l'appelant ^', on construira la quatrième proportionnelle

— : [appelant b , on construira — > et ainsi de suite; on

arrivera de cette manière a une ligne représentée par ^^^ •

On construira de même -, et on la retranchera de la

précédente ajoutée à a. Représentant celte somme par s,

a"'x 6"" — c™ sera remplacé par a"'~'s, et si l'on avait eu

ib SCIEIVCE DE L ÉTEiVDUE.

\jn"'-h ^'" — c"', celle racine serait remplacée par le monôme

de même degré y «'" '.v ou a " s" ■

4. Démonstration générale du principe. — Considérons une équation déduite de conditions géométriques et renfermant un nombre quelconque de lignes, connues ou inconnues, exprimées en nombre au moyen d'une unité non spécifiée. Supposons d'abord que, tous les dénominateurs étant chassés, l'équation ne soit composée que de monômes de degrés quelconques, positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires. Réunissons en groupes tous les termes de même degré : l'équation |)Ourra se mettre sous la forme suivante, dans laquelle l'indice donné à la lettre A marque le degré du groupe :

Les facteurs linéaires a, 6, f, . . . , k, l (\n\ entrent dans divers groupes varieraient avec l'unité de longueur et en raison inverse de la grandeur de celte unité ; mais, s'ils sont ainsi changés en a', h\ c', . . . , X', /', l'équation renfermera ces nouveaux facteurs absolument de la même manière qu'elle renfermait a, h., c, . . ., A', /, puisqu'elle a été obtenue indépendamment de la grandeur de l'uullé.

Cela posé, prenons pour cette nouvelle unité la grandeur de la première divisée [)ar un nombre arbitraire z : les nombres désignés par «', b' , . . . , l' seront respectivement égaux à za, zb, . . . , zk^ zl. Mais, comme la nouvelle équation doit renfermer a' , A', ...,/' do la même manière que la première renfernuill <■/, />>, ..../, on ["(détiendra en changeant di'.ns celle-ci a en ;«, b en zb, etc., ce qui donnera

z"' \,„ -f- z" A„ + zn \„ -i- . . . -^ ^.-- A, = o,

et, comme cette é(juati(>n devra avoir lieu quel que soit ;■,

CllVPITUE IMÏEMIER. I7

on arriverait à une contradiction i^i les coefficients des diflérentes puissances de z n'étaient pas séparément nuls.

Si donc l'équation primitive n'a ])as été obtenue par l'addition d'équations homogènes de degrés différents, ce que nous avons recommandé de ne jamais faire, il v a contradiction dans les suppositions; et il est impossible que l'on ait obtenu une écpiation de forme constante entre les nombres qui représentent des lignes, évaluées avec une unité indéterminée.

o. Comment l'iiomogénéité peut ces/er d'être apparente. — Si, après avon- trouvé une équation, en laissant l'unité indéterminée, on vient à la particulariser, et qu'on choisisse à cet effet une des lignes qui entrent dans cette équation, ou même si l'on commence ])arlà, les termes cessent d'être de même degré, à moins qu'on ne conserve la trace des facteurs qui deviennent égauv à i : ce qu'on ne fait pas, puisqu'on ne particularise l'unité (ju'en \ue de siniplification. On rétablirait 1 homogénéité en revenant à une unité indéterminée, et en complétant ou en réduisant les degrés des termes par l'introduction de facteurs ou diviseurs représentant l'ancienne unité évaluée au moven de la nouvelle. La manière la plus sinqile d'y parvenir sera de remplacer chacune des lettres représentant des lignes dans l'équation homogène par le rapport qu'elle exprime réellement de cette même ligne à celle qui a été choisie pour unité. Tous les termes deviennent alors de degré zéro, et l'homogénéité est rétablie.

0. Jtemarf/ues di\>erses. — Si l'on avait eu d'abord des dénominateurs polynômes, nous venons de prouverqu'après qu'on les aura tous fait disparaître, on ;jma une ('•quatinn homogène. Or il est bon de remarquer que Luus les ternies d'un mêmcdénominateur doivent être homogènes entre eux. Carsil'on en considère un quelconque et que l'on fasse dis-

Ulll. - .l/t</l. III. 9

l8 SCIENCE DE L ÉTENDUE.

paraître tous les autres, de sorte qu'il ne subsiste plus que ce dénominateur polynôme, il eslévident que, sïl n'avait pas tous ses termes de même degré, la multiplication qui le ferait disparaître ne donnerait pas des termes de même degré, comme cela doit être dans une équation composée de termes monômes et qui n'est pas la somme d'équations homogènes de degrés différents.

7. Si l'équalion rfiifcrmait des racines de polynômes dont l'indice serait indépendant de Tunité de longueur, on pourrait la rendre rationnelle, et alors elle serait certainement homogène, et les polynômes sous les radicaux, devraient l'être eux-mêmes.

Mais si l'on concevait comme possible l'existence d'un radical dont l'indice serait une quantité linéaire, il serait variable avec l'unité de longueuK et les règles relatives aux indices déterminés pourraient ne plus subsister. Ces cas singuliers devraient être examinés spécialement. Si par exemple on avait

ri / ^i J.3

a elx désignant des lignes, il faudrait extraire une racine de degré a d'un polynôme indéfini non homogène cl dont le degré des termes croît sans limite. Cela pourrait d'abord ne pas présenter le caractère de l'homogénéité, et l'on serait porté à croire qu'une équation qui renferme une pareille expression ne sauiail èlrc homogène. Et cependanl il n'en

est rien, carelle n'est autre chose que e", qui est une expression de degré zéro, comme tous les termes suivant lesquels elle peut être dcvcl()])péc.

8. Nous venons de voir un cas où, l'indicert d'un radical étant dépendant de l'unité de longueur, l'expression se