Solutions introduites par l' élimination des radicaux

Lorsque les équations qui expriment les conditions de la question renferment des radicaux du second degré, on est ordinairement obligé de rendre rationnelles les équations où ils entrent, et les résultats sont les mêmes, quel que soit le signe dont ces radicaux sont affectés.

Si donc les équations géométriques déterminent sans ambiguïté les signes qu'ils doivent avoir, le calcul pourra donner des solutions étrangères au problème proposé. Et lorsque, pour faire disparaîtreunradical,onrisoleradans un membre et qu'on élèvera ensuite au carré, il faudra examiner avec soin les cas nouveaux auxquels conviendrait la non-

CIIAPITP.E VnEMlER. I 2J

vellf équation, et en tenir compte dans la soiiition finale. C'est ce que nous allons éclaircir par quelques exemples.

90. Equation du lieu des points tels, que la somme de leurs distances à deux points fixe soit constante.

En einplovanl la formule générale de la distance de deux points, nous n'aurons aucune discussion â faire sur les diverses positions que peuvent avoir ceux que nous aurons à considérer; mais il faudra bien se rappeler que pour la généralité de cette formule les coordonnées doivent être considérées comme changeant de signe quand elles changent de direction. Nous nous conlenterons de rappeler ce que nous avons établi précédemment à ce sujet.

Soient F, F' (/<°'. 21) les deux points, 2 c leur distance, et 2 rt la somme constante ; prenons pour axe des x la

Fig. 21.

droite FF', pour axe des r la perpendiculaire à FF' élevée en son milieu A, et désignons par x, y les coordonnées dun point quelconque M du lieu. La condition à laquelle il est assujetti sera exprimée par l'équation

FM — FM ='i.a,

^y^-T-{x — c)--¥- ijy- — (x^cj-^ta,

les coordonnées x, y pouvant avoir des signes quelconques suivant la position de M, et les abscisses de F et F' étant

126 ÉTtDE DES COURUES.

— cet — c, comme l'exige l'emploi de la formule de la dislance de deux points. L'équation (i) est bien celle du lieu, mais sous une forme qu'il n'est pas bonde conserver. On cherche toujours à Fendre rationnelles les équations des courbes, à moins qu'elles ne se trouvent résolues par rapport à l'une des coordonnées, ce qui est la forme que l'on cherche particulièrement à trouver.

Pour faire disparaître les radicaux de (i), nous isolerons le premier dans un membre, et nous élèverons au carré; nous obtiendrons ainsi, toute réduction faite.

élevant encore au carré et réduisant, on trouve enfin pour équation du lieu

et cette équation serait la même, de quelques signes qu'on affectât les deux radicaux dans l'équation (i).

Examinons maintenant à quelles diverses questions géométriques correspondraient ces diverses combinaisons de signes.

Il faut d'abord évidemment exclure celle des deux signes — , mais il en reste trois : la première sera celle des deux signes +, et correspond à la question proposée; les deux autres correspondent à la différence des deux distances, quelle que soit celle des deux qui soit la plus grande.

Est-ce une raison d'affirmer que l'équation (2) représente deux lieux géométriques : l'un tel, que la somme des distances de chacun de ses points à F et F' soit 2«; l'autre tel, que la différence de ces distances soit 2a?

Cela serait certainement si les conditions de ces deux lieux pouvaient exister en même temps; mais il se trouve

CHiriTUE PlîEMIEti. 127

qu'elles sont incompatibles, et alors l'équation (2) n'en représente qu'un seul, celui qui est possible d'après les valeurs des données a et c.

El en effet, dans le triangle MFF', on a MF -^ MF'> FF'. Donc, pour que MF -j- MF' soit égal à 2a, il faut que l'on ait ia > FF' ou art > ac, ou a'^c, et le problème serait impossible si l'on avait a<^c.

Mais si l'on veut que la diflércnce de MF, MF' soit art. il faudra au contraire aa <] ic, puisque dans tout triangle la différence de deux côtés est jjIus petite que le troisième.

C'est donc la valeur relative des données a et c qui déterminera celui des deux problèmes de Géométrie que résout l'équation (a).

1° Si rt^c, on aura, en posant c- — «- = h-,

pour équation du lieu des points tels, que la somme de leurs dislances aux deux points F", F' soit art. C'est la courbe qu'on nomme ellipse, et les deux points fixes se nomment les foyers : nous la retrouverons plus lard dans la discussion de l'équation générale du second degré. a" Si rt < c, on aura, en posant a- — c- =; b-,

pour équation du lieu des points tels, que la différence de leurs distances à F et F' soit art. C'est la courbe qu'on nomme hyperbole; les deux points fixes en sont les fovers. Nous ne nous occuperons pas ici de reconnaître la forme de ces courbes. Cette discussion particulière n'aurait pas rapport à notre objet actuel, qui est d'étudier l'introduction de solutions que l'énoncé géométrique ne comportait pas.

I aS ÉTUDE DES COURBES.

91. Ecjiialion du lieu des points tels, que la somme de leurs distances à un point et une droite fixes soit constante.

Soient F et TJV {fig- 22) le point et la droite donnés. Prenons pour axe des x la perpendiculaire FX abaissée

Fis- 52.

de F sur UV; et pour axe des y, la perpendiculaire A\ , menée par un point A assez éloigné de F pour que tous les points que l'on aura à considérer soient du même côté de cet axe.

Soient .r, y les coordonnées d'un point quelconque ^I du lieu situé entre UV et AY; m la somme donnée, FB^rt, AF = h: la condition de la question est exprimée par l'équation FM -(- MP = m ou

et l'on voit que l'on doit avoir m ]> a, puisqu'on a évidemment FM -Jr MP > FB.

L'équation rationnelle en x à laquelle nous parviendrons renfermera non seulement les points correspondant au signe + du radical, c'est-à-dire le lieu demandé, mais encore ceux qui correspondent au signe — , s'il est possible qu'il V en ait : ce qu'il est bon d'examiner dès à présent.

Or, quelque part que soit pris le point M, à gauche de UV, on aura toujours BIP — FM<^FB<^/n. Donc pour aucun de ces points l'équation (i), dans laquelle le radical aurait le signe — , ne serait possible. Ainsi, en rendant rationnelle l'équation (i), elle ne renfermera pas d'autres

CHAPITRF, PUEMIER. I 2Q

solutions que celles qu ■ l'on deminde, an nioins ilans toute la partie du jilan à gauche de UV.

En isolant le radierai dans rr^qualion (i) et élevant au carré, on obtient, après r,''duclion,

(2) y- — 2( m — a )x = ( m — a r^ — lb{m — « 1;

c'est la courLe qu'on nomme para/jo le. et qui est un nouveau cas particulier de l'équation générale du second degré.

9i. Mais nous n'avons pas encore étudié coni|)lèlement la quesùon, puisque nous n'avons considéré que les points à gauche de UV, et pour lesquels a -^ b — ,r est positif. Pour les points à droite, on a x'^a-{- b, et le premier membre de (i) devient la différence FM' — AIT*'. L'équation (i), prise dans toute son étendue, renli'inie donc, outrela position de la courbe qui satisfait à laqu(ïstion posée. un autre lieu satisfitisanl à une condition géométrique différente, et qui, par conséquent, doit être considérée comme étrangère, sans qu'on puisse empêcher qu'elle ne soit comprise dans l'équation.

Il ne reste plus qu'à chercher à droite de UV les points qui pourraient convenir à la question, et dont aucun n'est donné, connue nous venons de le voir, par l'équation (i') ou (2).

Soient j-, y les coordonnées d'un point X tel que F\+ IVQ = /«, il en résultera

qui devient

(' i I .)'- + 2(7» - a ).r ={in -^ ay--- ibim h- a).

Il est facile de voir que l'équation (3'), ([ui satisfait à la condition géométrique dunnée quand on a ./■ ]> AB, n'\ satisfait pas quan<i on juvnd .r <; AB, puisque son premier membre devient la dilléicncc FM — MP. L'écpiation (3)

l3o ÉTliDF, DES f.OVRBES.

OU (4), qui lui esl équivalenle, comme (2) l'était à (i), représente donc dans son ensemijle un lieu dont la partie à droite de U\ satisfait à la question, tandis que la partie à gauclie n'\ satisfait pas.

Le prol)l<nie jiroposé ne j)eut donc être complètement résolu que par deux équations, et chacune des deux représente un lieu dont une partie convient, tandis que l'autre ne convient pas, et ne peut cependant en être détachée.

93. Exemple de solutions étrangères en nombre fini. — Les questions précédentes ont montré comment le calcul peut introduire des portions de lieux qui ne conviennent pas à la question proposée, mais conviennent à une question voisine ; de sorte que l'équation trouvée représenterait la solution d'une question plus étendue que celle qui a été posée, et qu'on avait certainement le droit de poser. Mais il peut arriver aussi qu'il s'introduise des solutions représentant des points isolés qu'il est impossible de faire disparaître, et qui ne se rapportent même à aucune modification des conditions données. Nous en trouverons un exemple dans le problème suivant :

Trouver l'éijunlioii du lien des points obtenus en menant d'un point fixe des droites jusqu'à leurs rencontres avec une droite donnée, et les prolongeant d'une quantité constante.

Soient \ if g- 213) le point donné, UV la droite donnée,

Fig. li.

a leur dislance AB, et m la quantité dont on prolonge un rayon quelconque AJN pour avoir un point M du lieu.

CHAPITUE PREMIER. l3l

Prenons pour axe? AX parallèle à LA , el A^ peipendiciilaiie: désignons par x. r les coordonnées MP, AP de M. Les irianeles semblables donneront

MP

MA ~ y

Si maintenant on élève les deii\ meniijres au carré pour avoir une équation rationnelle, on introduira les solutions qui se rapporteraient au premier membre changé de signe rt remplacé par (a — • r) ^ x- -r-y-, ce qui correspondrait à la supyjosition que m est porté en M' en sens contraire de \M. Ce nouveau lieu el le proposé seront représentés par l'équation suivante.

(jui ])0urrait être résolue par rapport à .r- l't deviendrait

On lrou\erail la même équation en prenant le ])oinl M de l'autre côté de l'axe des y, de sorte que les valeurs de x pour un même y pourront être portées dans les deux sens. Cette courbe est celle que les anciens ont nommée conchoïâe.

Remarque. — Si l'on fait tendre le point N vers B, 1'./du point .M ou du point M' tend Aers zéro, el les r \ers a dz /«, de sorte que, si l'on suppose a >» m, les deux points du lieu situés sur la perpendicidaire à AX seront au-dessus de A; et il en est de même i\r tous les piiint-< du liin.

l32 ftTTJDE DES COURBES.

Cependant Tcqualion (2) est satisfaite par ,r^o,j)=o; cette solution est donc étrangère à la question et ne peul pas être supprimée.

Si Ton faisait .r = o dans l'équation primitive (i), on ne trouverait pas en évidence la solution y =^ o comme

dans (21; mais, en faisant ^^ = o, on trouverait - pour l'un.

des membres, et Ion ne pourrait dire que léqualion est

satisfaite. Nous avons Lien dit, dans \aiScience des nombres,

qu une inconnue y qui se présente sous la lorme - peut avoir

toutes les valeurs, parce qu'elle est tirée d'une équation dont les deux membres sont nuls, quel que soit 1'. Mais c'était supposer que l'équation était donnée avant la division d'où résulte la valeur de y, et il est évident qu'alors on ne devait pas faire cette division, mais reconnaître que y était indéterminé. Dans le cas actuel il en est autrement : c"est la division de y par ^'„r'- +y- qui précède, et il n'y a pas lieu de faire les mêmes raisonnements; il faut suivre les valeurs de ce quotient, et on voit alors qu'il est égal à i quand x est zéro, ce qui donne

si l'on considère le-^ points IM'; les valeurs de y seront ainsi a -\- nt et a — 7;^. Mais si l'on pari de l'équation (2), obtenue en chassant le dénominateur ^/x- 4- r- et élevant au carré, on ne trome plus - fiuand on fait r =: o: tous les

termes disparaissent c! léqualion est satisfaite, mais non la question.

94. En génér.disanl ce cas particulier, on peut dire que si, ])ar la siiili' des calculs, mii' partie d'une écpiation se

CHAPITKF, rllEMIER. l33

trouve de la forme '• — cl (luOu nuiltinle li's deux

nieinbres par '^('x,j), la nouvelle équalion adineltra aéoes-saireiueiit comme solutions les valeurs de x et y qui annuleront o(x,j') el¥(^x, y). Si ces solutions conviennent à la question, il n'y a aucune solution étrangère introduite par celle multiplication. Mais si, comme dans le cas actuel, elles n'y conviennent pas, le calcul aura introduit ces solutions étrangères, qu'il sera le plus ordinairement impossible de supprimer.

11 faut donc toujours examiner avec soin les circonstances dans lesquelles on multiplie les deux membres par une fonction de x et j', et surtout celles où l'on supprime un facteur commun. Dans ce dernier cas, on supprime les solutions qu'il donnerait enl'éi^alanlà zéro, et il est important de s'assuier si elles conviennent ou sont étrangères à la question.

RECHERCHE DES ÉQrATIONS POLAIRES DE QIELQIES LIEUX GÉOMÉTKlylES.

9o. Eifuation polaire du cercle.

Soient R le ravon du cercle; a cl y. les coordonnées polaires de son centre; /■ et a les coordonnées polaires d'un point quelconque du cercle. En joignant ce dernier au centre, on^aura un triangle dont les trois côtés seront R, a, /•» et dont l'angle opposé au côté R sera a — -j, ou o — a, (juels que soient a et a, même dans le cas où i on considérerait des valeurs négatives pour 'i et a, comme nous l'avons lait dans la Trigonométrie. Dans ce triangle on aura

K- = r^ -V- a- — 2«rfOS('i — a ),

R2 = /•--!- a' — 2a/-cos( a — -i).

Ces deux érpialions se réduiiont à une seule en consi-

l34 ÉTl'Di; DES COURBES.

déranl, comme nous l'avons l'ail pour la généralisation des formules IrigonoméLriques, que deux arcs égaux et do signes contraires ont le même cosinus. Getle équation unique sera celle du cercle, puisqu'elle aura lieu entre les coordonnées de tous ses points, el deux seuleinoiil. l'^lle sera

(tu, en supposant que l'axe polaire passe par le centre,

et comnir nous n'avons considéré que la valeur aljsoluc du rajon vecteur, on poun-a ne tenir aucun compte des valeurs négatives de /■ fpii satisferaient à cette équation; ce fpii aura lieu quand on aura a <; 11, c'est-à-dire quand le [iiMc sera dans l'intérieur ilu cercle.