Eijualion polaire de la ligne droite

Soien' (//g. a6) A le pôle, AU la dii-ection de l'axe, B le

jioiiil iiù la droite donnée coupe l'axe, et a l'angle que lait

(lIVPnilF. rUKMlER. 1 3 J

avec AL ou Bl' la direction de la |iailii' li\ de l.i droilc. que Ton ohliendra la première en l'aisaiil Iniiincr aiiloijide B dans le sens des angles croissaiil-. un ra\(iii coucin'

d'abord sur l'axe BU. Le point B peut, être sur Taxe Al

sur son prolongement. Supposons-le d'abord sur AU, et faisons AB = a pour un point (pudcinupic M de l'A : on aura

sin( a ■ - » )

pour un point quelconque M, du |iroloni;ement inlVrieui lie BV^, on aura

fl sin a« '"" TTiTÂF"

mais le sinM' est égal au sinus d<' la somme des deux autres

angles du triangle ^L AB, laquelle estégale à a — 'ît, — »,

dont le sinus est le même (jue c<'Uii d(' a — o. On trouve

donc la même équation pour tous li's pciinls de la dioite

indéliiiie.

11 reste à examiner le cas où le point B <,'st en B' sur le

prolongement AV de AU. On aura alors pour un [)oint M,

quelconque de B'V'

Ali' ?iii a

sin(!i — -x)

et il en serait de même pour les points situés sur le piolongement de B'V.

Cette équation, qui a lieu pour tous les jioints d(; la droil(,', diffère, par le signe du second membre, de celle qui a éli'cd)tenue quand elle coupait l'axe du cùl('' AL". < )ii rcnli rmirait donc les deux équations dans une seule, en iiilendaiil (jue «désigne la distance du pôle au |)oint B quand ce point '•st sur la direction de l'axe à partir de laquelle on (M)inple les angles, et qu'il désigne cette dislance allectée du signe — quand le point B est du côté oppos('' du pôle. Les cboses

l38 ÉTLDE DES COUnBES.

étanl ainsi ciilendues, l'équalidn polaire générale de la ligne droite sera

, , a si 11 oc

9i). llomniiiuc. — (^uand ?i()us avons considéié le l'avoii vecteur du point M,, nous avons dû prendre pour co l'angh' décrit par une droite tournant depuis AU jusqu'à AM, dans le sens des angles croissants. De cette manière le rajon vecteur part de la valeur a quand tp part de zéro, et augmente sans limite à mesure que o s'approche de a; ce que nous avons déjà dit qu'on exprime en disant qu'il est infini j>our es = %. Mais en augmentant 'Si au delà de a, le rayon direct ne lenconLrera la droite pi'oposée que quand es aura ilépassé la valeur a+-, pour laquelle il serait redevenu parallèle à cette droite : et, en continuant à augmenter jusf[u'à a—, on construira le prolongement inférieur de la droite. Il n'v a là aucune difficulté; c'est ainsi que les choses f)nt t'ié entendues quand (jn a cherché l'équation polaire qui est satisfaite pour tous les points de la droite.

Néanmoins on peut être curieux de savoir ce cjue donnerait cette même équation pour les valeurs de cp comprises entre a et a -f- tt, et dont on pourrait ne s'occuper en aucune façon.

Nous renverrons cette discussion après la théorie des coordonnées négatives.