Equation polaire de la spirale (l\/ rchiinède

Un point est depuis un temps indéfini en inouvemenl nnilniine sur uik^ droite ipii tourne uniformément autour' d un de ses points dans un plan donné; il s'agit de trouver ri'(pi;il iiiii (le hi eourhe (piil tlécrit. Cette courbe porte If nom du gi'and géonièlri' ijiri l'a éliidiée le premier'.

Prenons pour pcMr !<• point (i\e A, et pour a\e l'iuie des positions AU de la droite inoltile : désign(uis par' h la tpiari-

CIIM'ITH' IREMlEll. \S[)

tilé conslaiite dont le |ii>inl se (li'iiliKC sur' celle ilroile, pendant qu elle se déplace; d un aiij;le ii;al à liniiU', imi prenant ponr mesure des ani;les an cerilre le rappoit de-. arcs interceptés an ra\on.

Soient B(/ig. ajila '|)(i>ition ilu |ioinl sur AU, el M une antre position inielconcpie, on aura, en larsanl AI! = n r\

supposant que le point mobile >'éloii;ne de A.

(1) r = rt~b':..

Cette équation aura lien éviilemmeni puur lonles levaleurs de es, depuis zéro jusqu'à linfiiii ; mais elle ne représente pas les positions du point anlériemcs à son ariisc'i' en B. Pour les obtenir il su II il de prendre a n-dessons de M des rayons diminuant uniformi'inenl, de manière (pie h snli la diminution pour l'unité- d'angle. Désignant par •:,' les angles comptés à partir de AU dans le sens op])os(' \x\\\ angles «, l'équation (pii liera ces nouNcauN polnl-- -er.i

el par conséquent reVpiatloii 1 1 1 -nllirail pour- n |iii'~enier encore celle partie de la cijuibe, >1 l'on \ donnajl à -^ devaleurs négatives et (pi'un le- poràl en sens cunlr.iire devaleurs positives à jiartir de r(inj;in<' AU. (.1 |Hiidaiil Téquatlon (-i) ne construira les pdiiils du lien cpie lan! que Ij'i' ne surpassera pas ti: elle ne pourra èlre employée (pie jusqu'à la valeur |)artleiillére -;,, lelle (|ue A-i, = '/, el qui donnera /■ ^= o. La droile iinduli' sera alors dan- la

l4o ÉTVDE DES <OlllBES.

|)Osilioii OÙ elle était lorsque le point, en mouvement sur cette droite depuis un temps indéfini, passait par le point fixe.

Il reste encore à trouver l'équation du lieu des points correspondants aux positions antérieures, qui correspondent à 'j>'>»|. Ces points se trouvent en arrière du point A sur la drcjite que nous faisons rétrograder par les valeurs croissantes de ts'; et leurs distances à A augmentent toujours dans le même rapport avec les accroissements de l'angle. En les désignant par /', on aura donc

On voit donc que l'équation (2) les produirait en portant la valeur négative a — bd dans le sens opposé à celui qui correspondrait à l'angle »'. Donc aussi l'équation (i) les fournira en donnant à co des valeurs négatives indéfiniment croissantes, portant dans le sens direct les valeurs de /• lorsque l'équation les donnera positives, et en sens contraire lorsqu'elle les donnera négatives.

On voit par cet exemple que la considération' des quantités négatives peut quelquefois servir à généraliser dans un système de coordonnées polaires, aussi bien que dans un système de coordonnées reclilignes, et permettre de n'employer qu'une seule équation, au lieu de plusieurs, pour représenter les diverses parties d'une même courbe. Et l,e procédé est toujours le même : il consiste à porter dans des sens opposés les lignes que l'équation donne avec des signes contraires. Ces deux sens sont clairement indiqués dès que l'angle '.p est connu ; ils le sont aussi bien que sur les axes fixes de coordonnées rectilignes; et l'on ne peut s'expliquer par quel incroyable préjugé quelques savants ont pensé que les lignes tournantes ne devaient être considérées que dans leurs valeurs absolues.