Equation polaire de la spirale lo^arii hniitpu

Celte courbe esl définie par la corulilKiii i|iic \v-. rivnii-vecleurs varienl en proi^ressioii par (juolicnl, |iir-.(|ii(' le-. angles varienl siii\ant une jinii;ress!()ri |kii ilinVMcricc, cl dans un sens d/'lennim-.

Prenons pour piMc le puiiil donne \ {fi-^- '■^j: supjx)sons qu'on donne un poinl Bile la courl)e,et prenons l'ave

Fig. îS.

dans la direclion A13. Pour eompléler les dotin('-es, nous adniellrons que l'on connaisse im second poinl (Idclacoiiilie, au moyen de l'angle CAB cl de la l(iiii;i](iir A(^ (pjc nous désignerons respectivement piuw/ el //, cl supposons ipji' le sens du mouvenicnl soil celui de AI5 vers AC, dans loiile l'étendue du lien.

Si nous partageons l'angle a l'ti nii riond)re ijuelconipie m de parties égales, et que nous les portions in(l(''(inini<'nl :i\\ delà de AC, il sera facile de trouver pour toutes les \,di'ur> de a qui correspondent à ces directions ICxprcssioM gi'ni'raie de rayons vectenr-s en progression jiar quolieril , doul AB cl AC feront paitii'.

Soient en efiTet /( un nond)r'e (piele()n(|ue de suljdix rMoiide a, 'v 1 angle, el /• le ravim vecteur (■orrespondaiil \M.

La raison de la progression yw quotient sera i/ - i el pir conséquent AM ou /■ >eia é-gal ù <' 1 / ( ) ou "{- ) ■

I42 ETLDK DES COIJIIBKS.

l'osanl donc — = '-i, on aura

un. fil posant (-1 =c,

('■quation indépendante du nombre des subdivisions de a, (|ui peuvent être supposées aussi petites que l'on voudia ; de sorte que s peut être regardé comme variant d'une manière continue. L'équation que nous venons de trouver entre /■ et o est donc celle du heu demandé.

On voit que les angles li sont les logarithmes des rapports -, dans la base c, et c'est pour cela que l'on a donne

à cette courbe le nom de spirale logarithmique. Si ( - ) est

plus grand que i , les valeurs de /• vont en croissant indéfiniment avec 3 : on aura c >■ i , et la courbe se composera d'un nombre infini de spires dont les points s'éloigneront indéfiniment du pôle à mesure que l'angle » augmentera. Si

l'on avait (- ) <i. les ravons iraient au contraire en di-

miimant indéfiniment; le nombre des spires serait encor(' infini, et leurs points se rapprocheraient indéfiniment du pôle sans jamais v arriver.

Enfin si - z= I , on aura - ^ i, ce qui donne un cercle a ri ^

de rayon a.

I()!2. Mais léquation (i) ne représente qu'une partie du

«IIAPITUF. inEMIEK. 143

lieu, celle qtil esL ilu cù'-i- où nous a\ons coiisKlrMi' leangle» ts, cl il reslerail à Irotmi- (■clic (|iii roiiiiiirail les points situés de l'autre côlé ilc AI!.

Soit tp' l'angle formé avec AB par le rayon \ecteur de liin quelconque d'entre eux. En agissant comme dans le premier cas, on Irouxcra

'v' = — «H a = r{- ) =z r l- ) , -i = ^ — , cl par suite

l^es points situés dans cette seconde partie du lieu seraient donc donnés par la première équation (i), dans la- (luclle on donnerait à » des valeurs négati\es, cjuc l'on porterait dans le sens opposé aux valeurs positi\cs: cl en entendant les choses ainsi, nous regarderons rcMpiation il) comme celle du lieu demandé. Il est à iciiianpicr qu'aucune valeur de 'i ne (lomiora île valeurs négali\es pour r.