CHAPITRE II

et j)' qui satisfont à l'cquation, à la condition de les porter sur les axes dans le sens opposé à celui qui a été choisi pour les solutions positives. Dans plusieurs questions étudiées précédemment, nous avons vu que c'était à cette condition qu'une équation unique représentait tous les points du lieu : il est évident alors que si l'on veut construire tous les points du lieu au nioven de cette équation, il faudra emplover toutes ses solutions réelles, positives ou négatives, et n'excepter que ses solutions imaginaires, |)uisque Ton a bien établi que tous les points correspondaient aux solutions réelles seulement.

Dans le second cas, on se propose de construire des jjoinls d'après une équation qu'on s'est donnée arbitrairement, et l'on est tout à fait maître de s'imposer les conditions qu'on voudra. On pourra se borner aux points dont les coordonnées seraient les solutions positives seulement, ou aux points dont les coordonnées seraient uniquement les solutions négatives, ou encore dont. les x seraient positifs et les y négatifs, et réciproquement. Rien n'empêchera l'opérateur de construire des points d'après les solutions imaginaires de réquation, en les emplovant de la manière qui lui conviendra. Tout sera permis, en un mot, puisque ce sera une simple question de fantaisie. 11 n'v aura alors aucune difficulté à se proposer sur l'interprétation des solutions. Celui qui s'en ferait et croirait les lever se ferait illusion à lui-même : il serait la dupe d'une apparence de solution pour une question mal posée.

Ce second cas donc ne mérite pas un examen sérieux ; il ne peut être regardé que comme un simple amusement à l'occasion d'une équation, et n'aurait de scientifique que l'apparence. Nous devons nous borner au cas où l'origine, ou les données de l'équation, fixent d'une manière précise l'usage que l'on doit faire des diverses formes que peuvent afiectcr les solutions de l'équation.

Dm. — Meth. III. 10

l4(> ÉTinr: dls coirbes.

Les moyens de géaéralisalion que nous emploierons par la suÎLe pour la représentation de tous les points d'un lieu par une seule équation ne consisteront que dans la considération des signes + et — attachés, comme nous l'avons fait jusqu'ici, aux deux directions opposées des coordonnées prises à partir de l'origine sur chacun des axes, ou du ra^on vecteur sur la ligne déterminée par l'angle es. C'est pourquoi nous ne tiendrons aucun compte des solutions imaginaires, et nous ferons des solutions négatives un usage conforme aux prescriptions de la question. Quelles qu'elles soient, les méthodes de discussion n'en seront pas modifiées, puisqu'il ne s'agira que de négliger les solutions négatives, ou bien de les porter d'un autre côté bien déterminé.

104. Une ('(juation unicjue représente gènérnlement un lieu continu.

Supposons que, entre deux valeurs a, b, toute valeur prise pour X détermine une valeur réelle de y donnant lieu à la construction d'un point, c'est-à-dire positive si l'on doit rejeter les solutions négatives, et de signe quelconque si on doit les accepter en les portant en .sens opposé. Dans ce cas, si le premier membre de l'équation

est une fonction continue de x et r, il est facile de voir que, en faisant croître x d'une manière continue àe a k b, la fonction y variera anssi d'une manière continue, soit qu'elle puisse s'exprimer en x au moyen des fonctions simples admises dans le calcul, soit ([ue l'on doive se borner aux procédés d'approximation relatifs aux racines des équations à une seule inconnue. Les points construits ainsi se suivront donc d'une manière continue.

Il est possible qu'à partir d'une certaine valeur de x les

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valeurs de >• >li\ ieniienl iiii;ii;inaii{'s, v.l alors le lieu esL interrompu. Il pourra renaîlre eiisuilc, si les valeurs redeviennent réelles, et cela pourra se produire un iioudjre de fois quelconque : de sorte (pie le lieu lolal ilc l'équation jiourra se composer de plusieurs lieux, si'pan'iiient continus, mais entièrement isolés les uns des autres. Pour être sûr de n'en perdre aucun, il sera nécessaire de considérer les valeurs positives de a: croissant indéfiniment depuis zéro, puis de revenir à zéro et donner à x des valeurs négatives indéfiniment croissantes. En construisant pour chacune de ces valeui-s de x toutes celles (pie l'équation fournit pour r, on est certain d"a\oir la construction complète du lien de l'équation.

Nous examinerons d'une nianièi-e spéciale les circonstances importantes que |>cut comporter la discussion des lieux; nous n'avons voulu ici qu'cnvisai;cr somniaircment le moyen de reconnaître l'existence du lieu, et les dix erses parties séparées dont il peut être coni|iosé.

105. Des points cotiimuiis à deux lieux donl un ii les équations.

Si un point se trouve à la fois sur ces deux li(;u\, ses coordonnées doivent satisfaire à ré(piatl()ii de l'un et de l'autre de ces lieux; et réciproquement, ImiL s\stènie de valeurs de x et v qui satisfait à ces deux é(juations construit un point qui est sur l'un et l'autre lieu. Le [)roblèmc géométrique de l'intersection de deux lieux correspond donc, dans la science des nombres, à la recherche des solutions réelles communes à deux équations; et ii'(ipi(i(pi(;nient.

106. Nous avons prouvé 1 (;\istence ilun heu cDnlmn entre deux valeurs «, b de x, telles (pic toutes les \alcurs intermédiaires en donnaient de réelles pour r. Mais s'il n'v a\ail qu'un nombre limité de valeurs d<: x (jui en

l4S ÉTIDE m S COIRBF.S.

donnassent de réelles pour y, le lieu se composerail d'un nombre limité de points isolés, correspondant à ces solutions réelles de l'équation. Si, par exemple, F{œ,y) élail la somme de deux carrés, l'équation serait de la forme

/(t, j)')2-+- o(ar, yy- = o

et ne pourrait être satisfaite f[ue si l'on avait à la fois

ce qui ne donnerait en général qu'un nombre limité de solutions, et par conséquent un nombre limité de points pour le lieu de l'équation.

Enfin, si F (^, J') était la somme de trois carrés, il faudrait trouver des valeurs de a: et j' qui les annulassent séparément tous les trois, ce qui serait le plus souvent impossible : il n'y aurait alors aucun point qui satisfît, et l'équation n'aurait aucun lieu.

107. Classification des équalions dans un système de coordonnées rectilignes.

On partage d'abord les équations en a/gébrit/ues el en tî'anscendantcs .

On appelle algébriques celles où les variables j;etj' ne sontsoumises qu'aux opérations qu'on nomme algébriques, et qui sont l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation aux puissances et l'extraction des racines.

On apjjelle tra/iscendantes celles où les variables entrent comme exposants, ou sous les indices de logarithmes ou de fonctions trigonométriques.

Les équations algébriques étant supposées débarrassées de tous les radicaux, et tous les dénominateurs variables étant chassés, se classent suivant leur degré, qui se mesure par la plus forte somme des exposants de ,r, r, dans les divers termes de l'équation.

cmi'iTKF, II. 149

C est dans cet ordre i|u"il CDïnit'iit de le> ;'iiidler daliord, cl l'on coninienccra, par Roiist'cjiiciil, par les équalioiis du premier degré en x et )'.

Mais, avant ces discussions spéciales, il est bon de résoudre une question qui leur est applicable à loiiles, el peut quelquefois beaucoup les simplifier : c'est la reciierein' des formules générales propres à faire passer dun s\slèiue de coordonnées à un autre.