CHAPITRE PREMIER. ly

trou\c homogène el de degré zéro. Mais si, au lieu d'avoir sous ce radical le développement de e^, on avait eu un po- Knôme d'un nombre fini de termes, en lisolant et élevant les deux membres à la puissance a, on aurait d'un côté ce polvnôme, dont les termes auraient des degrés fixes, et de l'autre des quantités de degré variable avec l'unité de longueur, ce qui serait impossible.

9. Il est d'autres expressions que les exponentielles qui, n'ayant pas de degré déterminé, ne peuvent s'appliquer qu'à lies quantités de degré zéro. Ainsi les logaritlinies ne peuvent affecter que des quantités de degré zéro, parce qu'ils n'ont aucun degré déterminé, à moins que ce ne soil zéro; il faut alors que l'on n'ait que des rapports de (juantités de même degré; ils seront indépendants de l'unité de longueur et ils pourront être soumis à des opérations logarithmiques ou exponentielles, et entrer dans di's équations homogènes. Quelquefois ces circonstances ne seront pas immédiatement en évidence, par exemple si l'on avait logx — log«, et cependant elles pourront être

reconnues, comme dans ce cas où \osx — log^a = loij -•

10. C(is où il y a des unités d'espèces différentes. — Lne équation peut renfermer des grandeurs dont la mesure

'ne se ramène pas à une même unité; les surfaces el les volumes se ramènent à l'unité de longueur, parce qu'ils dépendent toujours de hgnes qui les déterminent; mais s'il entrait dans une même équation des lignes el des angles, il faudrait prendre deux unités d'espèces différentes : une ligne pour mesurer les longueurs, et un angle pour mesurer les angles.

En admettant toujours que l'équation a été trouvée en laissant les unités indéterminées, si l'on suppose qu'on fasse varier l'une quelconque d'entre elles en laissant les

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autres constantes, les raisonnements iirécédenls prouvent que l'équation doit être homogène par rapport aux quantités de l'espèce de cette unité. D'où l'on conclut qu'elle est homogène séparément par rapport à chacune des espèces différentes de quantités qui y entrent.

Une pareille équation pourrait être ramenée à ne renfermer que des rapports de lignes ou des rapports d'angles; mais ses différents termes peuvent aussi bien renfermer des produits de quantités d'espèces différentes; il suffit que l'homogénéité ait lieu séparément pour chaque espèce. Il pourrait hien arriver aussi que l'homogénéité eût Heu séparément pour deux classes distinctes de quantités de même nature. On le reconnaîtra quand l'écpiation aura été obtenue en supposant que les quantités d'une même classe aient été évaluées a^<ÊC une unité indéterminée, mais différente pour chacune. G\st ce qui arrive par exemple dans la Trigonométrie, lorsque l'on établit des équalion.s entre les côtés des triangles et les lignes qui, comme nous le verrons bientôt, servent à la détermination des angles.

DE LA DÉPEXDA.NCE ÉTABLIE E.MRE LES DIFFÉRENTES IMTÉS; SES CO.NSÉQr EXCES SUR LA FORME DES ÉQUATIONS.

1!. La mesure d'une grandeur, ou son rapport ù une au tri' di- même espèce, se ramène souvent à la mesure d'autres quantités d'espèces différentes. Ainsi la mesure des surfaces et des solides se ramène à la mesure de certaines lignes; et si l'on ne fait entrer ces grandeurs dans le calcul qT.ie par leur mesure, il n'en résulte que des équations entre des lignes; et nous n'avons rien à ajf)utcr sur ce point à ce qui a été dit précédemmi'nl, i-clativemcnt à l'homogénéité.

Mais si la grandeur dépend de di'iiv élémcnls d'cs[)èces différentes et que, sans choisir pour unité une des quantités données, on établisse cependant une certaine dépendance