CHAPITRE IV. l

OÙ il u'eiilrc ([ue les produits /'Cos'î., /sin-i, i|ui rcslcnt bien les mêmes <]iiaiul on remplace © cl /■, soit par 'i,, /•,, soit par 'j, -i- 7: et — /(. Mais il est facile de voii- (pr'il n'en est pas de même de la fonction F.

En effet, d'après les observations précédentes, le rapport - doit toujours être pris égal à + i ; //•- cos- ç -r- /■- si n- 0

par suite, la subslilution de -^ , et /•, dans (.1) donnera F /■,, arc

COS(COStfi)

sin (sin 0|)

•t la suLslitullon de -j;, + r: et — /■

i ros( — c..>'^,i F I — ,-,, arc . ,

' sin ( — siii -ij)

<nii n'est nullement i(ieiiti([ue à l'expression précédenle; et ])ar conséquent, si '-i, et /•, satisfont à {'i),-^, + - et — /•, n'y satisferont généralement pas. Il faudrait, j)our avoir des résultats identiques, eonservei- au i-adieal le même signe, là où il représente /•, qui en change; et le faire . 1 • 1 1 • /'CdS'i /•>in'i , .,

changer de signe dans les e\j)ressions ' , ■ , ou il

doit toujours être pris posilivenient.

L'erreur qui faisait croire à la possibililé de la doid)le construction provenait donc de ce (ju'on ne tenait pas compte des restrictions auxquelles était assnieiiie l'éipialion (2) en ./• et r.

El l'on voit comineiil, en en tenant solgneiisemenl compte, les deux substitutions conduisent, après la double transformation, à deux expressions identiques à

F('-|,'fi) et F[ — r,,'ii-'-),

que l'on obtiendrait d'après l'équation proposée F(r, »), qui, comme nous l'avons fait voir d'abord, ne sont pas généralenieiii jiulles en même temps.

l8.f ÉTUDE DES COURBES.

On remarquera facilement que le passage aux coordonnées rectangles inlroduit une infinilé d'arcs, différant du premier d'un multiple quelconque de 27:. Ce sont ceux que l'on trouverait en faisant usage de l'équation (i) et faisant tourner indéfiniment le rayon vecteur, comme cela doit être. Si à l'un de ces angles, cp, par exemple, correspond une valeur de /•,, les autres valeurs de tp comprises dans la formule cp, ± 2mz donneraient pour /• des valeurs différentes de /■,, que l'on pourrait déterminer soit par l'équation (i), soit par l'équation (2). Appliquons ces considérations générales à quelques cas particuliers.

IH). Spirale d\IrcJiimède. — L'équation r =^ atf de celte spirale devient, en passant aux coordonnées polaires,

^x'-hy- = a an

11 n'y aurait qu'à répéter ce qui vient d'être dit pour une fonction entière quelconque de /• et tp, dans laquelle rentre le premier mcmhre de /• — c/'i = o.

1 il. Spirale lo^a?itlinnt/ar. — Soit maintenant l'équation

(1) /■ = ab'f,

qui donne toujours /• positif et n'admet pas la double construction ; elle devient en coordonnées rectangles, en abrégeant la désignation complète de l'angle,

et le radical représente r, positif ou négatif, dans le premier membre seulement.

«HAI'ITUK IV.

Revenant aux coordonnées polaires, avec les conditions imposées au radical, nous obtiendrons

cos=o -f- 7- sm-

Soit une solution ;;,, /•, de cette équation. /■, élant positif, l'équation (3) donnera

(4) /■, = ai"'™-™?'.

Si l'on substituait maintenant -i, -1- - et — /•, à -j et r dans (3), en ne tenant compte d'aucune restriction, elle serait bien satisfaite, comme nous l'avons dit en général;

mais, en observant que doit être reni-

yr- Cl «s- -i -I- /- si n- o placé par 4-1, et que le radical du premier membre représente r, on trouverait

équation incompatible avec (4).

142. Il suit de cette discussion que les contradictions signalées n'étaient qu'apparentes; elles tenaient à ce que, dans les transformations qu'on faisait subir à l'équation polaire primitive et à l'équation en .r, j' à laquelle elle conduisait, on ne tenait pas compte des restrictions auxquelles il fallait avoir égard pour que ces équations représentassent exactement le même lieu.