I -t- aa

En employant l'une ou l'autre, quand on iynore si a est plus petit ou plus grand que a', on est toujours sûr d'avoir la tangente de l'un des deux angles que forment entre elles les deux droites; mais il est incertain si ce sera celui des deux prolongements situés au-dessus de l'axe des x, c'est-à-dire du côté où se trouve l'axe des y positifs.

Il n'est pas besoin de rappeler que la formule de la tangente de la différence a été démontrée générale, sous la condition des signes.

'lol2. L'angle U'AU sera d'autant plus près d'un angle droit que sa tangente sera plus grande; les deux droites

seront donc perpendiculaires quand l'expression ;,

croissant indéfiniment, cessera de représenter un nombre; ce que l'on exprime dans un langage rapide, mais inexact, en disant qu'elle est devenue infinie. Pour que cette fraction devienne infinie, il faut, ou que son dénominateur devienne nul, le numérateur étant fini, ou que le numérateur devienne infini, le dénominateur étant fini.

Dans le cas où a et a! sont finis, la condition pour que les droites soient perpendiculaires sera

Et c'est là la seule condition pour qu'elles le soient. Car, pour que le numérateur fût infini, il faudrait que l'une des deux quantités cr, a! le fut, par exemple a'; mais alors la fraction aurait pour limite -■> qui est la tangente d'un angle différent de l'angle droit. Dans ce cas, l'une des droites est parallèle à l'axe des j-, et - est la tangente de l'angle que fait la seconde avec cet axe.

CHAPITI'.E V. 197

lo3. Equation de la perpendiculaire abaissée d'un point donné sur une droite donnée. Expression de la distance du point à la droite.

Soienl x', y' les coordonnées du point, el

(i) y = ax-^b

l'équation de la droite. Celle d'une droite quelconque passant par le point donne sera

et l'on devra avoir i -f- aa' =^ o pour qu'elle soit perpendiculaire à la première. L'équation de la droite demandée sera donc

Pour avoir la dislance du point {x',y) à la droite donnée, il faudra calculer les valeurs de .r el I' qui satisfont aux équations (i), (2), et la valeur de celte distance /» sera donnée par la formule générale démontrée précédemment. On aura ainsi, en supposant x et )' connus.

Mais, au lieu de x et y, il est plus convenable de calculer les différences a; — x\ y — y'; et pour cela on mettra l'équation (i) sous la forme

y—y'= a( X — x')—(y' — ax' — b).

Cette équation jointe à (2) fera connaître .r — x',i- — y', el l'on obtiendra pour p la valeur suivante :

loi. Remartpie. — Si l'on prend le radical en valeur absolue, celte formule donnera pour /> une valeur j)0sili\e si l'on a ^' > ax' -t- b, et négative si y' <i ax' -r 0.

ig8 ÉTUDR DES COUniîES.

Or ax'-\-b est l'ordonnée de la droite donnée, pour l'abscisse a;' ;-l'inégalité jk'> «x' + 6 a donc lieu, quels que soient les signes, lorsque le point donné est au-dessus de la droite donnée, c'est-à-dire dans la partie du plan qu'on obtiendrait en marchant dans le sens des jk positifs, à partir de tous les points de celte droite : l'inégalité j'' <; ax' + b aura donc lieu pour tous les points situés au-dessous de la droite.

Celte propriété de la formule (3) mérite d'élre remarquée. En l'employant, et prenant toujours la valeur absolue du radical, elle donne des valeurs positives pour les perpendiculaires abaissées des points situés au-dessus de la droite, et négatives pour tous les points au-dessous. Ces perpendiculaires changent de signe en même temps que de sens.

lo5. Si léquation de la droite était donnée sous la forme

qui donne

il suffira de changer a et b en — -r' et -^ dans un résultat quelconque obtenu en partant de la forme y =^ ax + b, pour obtenir le résultat correspondant à la nouvelle forme. En faisant cette substitution dans la formule (3), on obtiendra

Ar'-t- R.î''-i- C

^'= Vam^i^ ■

Le signe de cette expression changera avec celui du numérateur; mais le coefficient A peut modifier la proposition démontrée ci-dessus. En effet, en mettant ce numérateur sous la forme

A-^-^ÂJ'