CHAPITRE V. igC

kl (|uautilé entre les parenllièses est bien égale encore

à )■' diminué de l'ordonnée r r- de la droite; mais,

si A est négatil, il faut renverser la conclusion, et le numérateur sera positif quand le point donné sera au-dessous de la droite, et négatif dans le cas contraire. SI A est positif, les conclusions sont les mêmes que quand l'équation de la droite est mise sous la forme y = ax -'r b.

APPLICATION DES RÉSILTATS PRÉCÉDENTS A (JLELQIES QIESTIONS SIMPLES.

loO. Du centre des riioj cnnes distances. — On propose de déterminer, si cela est jîossible, un |)oint tel, que sa distance à toute droite, située dans un plan donné, soit la moyenne des distances de points donnés en nombre quelconque, à la mémo droite.

SoientXi )'| , Xo Vo, . . . .x,„r,„ les coordonnées de m points donnés et X, \ celles du point inconnu.

L'équation d'une droite quelconque du plan peut se mettre sous la forme

y = ax -- b.

Prenons-la d'abord telle, que tous les points donnés soient d'un même cùté, leurs distances à cette droite, exprimées par les formules

y> — f^-^i — b y., — axj — 6 )',„ — a x„, — b

/l -r- a'^ /l -HO- /' ^ «"

seront toutes de même signe : positives, si l'on suppose la droite au-dessous d'eux.

La dislance du point (X, \ ) à la même droite aura pour valeur

Y — gX-f>

200 ÉTl DE DES COliRBES.

et devra être égale à la somme des premières divisée par m, si le point (X, Y) est pris du même côté; et s'il était de l'autre côté, il faudrait changer son signe pour ne pas égaler des quantités de signes différents.

Eu supprimant le dénominateur commun et désignant les sommes des abscisses et des ordonnées respectivement

par ^.Xf, z,''i) on aura, pour exprimer la condition

donnée, l'équation

b disparaît, et il reste

Pour que celte équation ait lieu quel que soit «, il est nécessaire et suffisant que l'on ait

Avant d'aller plus loin, il est bon de voir ce qui serait arrivé si l'on avait pris la forme inverse pour l'expression de la perpendiculaire abaissée de (X, Y), c'est-à-dire

la quantité h n'aurait plus disparu, et, pour que l'équation eût lieu quels que fussent a et 6^ il aurait fallu trois équations au lieu de deux entre X et Y, et l'on n'aurait pu y satisfaire.

Nous avons donc trouvé un point tel, que sa distance à toute droite qui laisse tous les points donnés d'un même côté est la moyenne de la distance de ces points à la même droite. Ce point est unique et ses coordonnées s'obtiennent en divisant la somme algébrique de celles des points donnés par leur nombre.

Considérons maintenant une droite quelconque traver-

CHAT'ITRE V. 20I

San t le système des points donnés. Los l'onmiles que nous avons employées pour toutes les distances donnent des résultats positifs pour les points situés d'un côté de la droite, et négatifs pour ceux qui sont situés de l'autre. D'où il suit que la somme algébrique que nous avons écrite exprime la différence entre la somme des dislances des points situés d'un même côté et la somme des distances des points situés de l'autre, et indique même par son signe quelle est la plus grande des deux.

Il existe donc un point unique dans le plan des points donnés qui est tel, que sa distance à toute droite du plan est la moyenne de celles des points donnés, en entendant que toutes ces distances sont considérées comme positives pour les points situés d'un même côté de la droite arbitrairement choisie, et comme négatives pour les points situés de l'autre.

Ce point se nomme le centre des moyennes distances des points donnés. Ses coordonnées sont les moyennes algébriques de celles de ces points.

lo7. Lieu des points d'oii une droite donnée de longueur et de position est vue sous un angle donné. — Remarque relative à la formule de l'angle de deux droites.

Nous avons déjà considéré ce problème comme exemple de solutions étrangères; il va nous servir actuellement à montrer les précautions qu'exige l'emploi de la formule de l'angle de deux droites.

Soient BB' {fig- Sj) la droite donnée, 2rt sa longueur Fig. 37.

et [X la tangente de l'angle sous lequel elle doit être vue du point quelconque M du lieu.

a02 ÉTtDE DES COURBES.

Les équations des droites menées de B et B' à M seront, en prenant B'B pour axe des x, et pour axe des y la perpendiculaire au milieu,

m, m' étant les tangentes des angles a, a.

Si le point M est au-dessus de l'axe des x, l'angle sous lequel sera vue BB' sera a — a', et l'on de\Ta avoir

Mais si le point est en M', au-dessous de AX, l'angle sous lequel sera vue BB' sera x' — a, et sa tangente sera

— a. Les

0 1 . , - / ^ . , • • • ni — r, 1 équation ( i ) peut s écrire ainsi :

points du plan satisfaisant à(i) seront donc tels, que de ceux qui seront au-dessus de AX on verra BB' sous l'angle dont la tangente est ia, et que de ceux qui seront au-dessous, BB' sera vue sous l'angle dont la tangente est — tx, c'est-à-dire sous l'angle supplément. C'est là l'explication du résultat (]ue nous allons trouver en faisant usage de l'équation unique (i).

Si nous désignons par j", y les coordonnées qui satisfont aux équations des deux, droites, on aura

et, les reportant dans (i), on aura entre les coordonnées d'un point quelconque du lieu l'équation suivante,

CHM'lTlïE V. -id')

OU, en réduisant,

laquelle peut se mettre sous la forme

On reconnaît alors que le lieu est un cercle dont le centre a pour coordonnées a; ^= o, y ^= - et dont le l'avon

est "^ — Il passe par les deux points B. B'. Sa partie

supérieure et sa partie inférieure sont des segments capables d'angles supplémentaires, comme nous l'avons prévu.

Si l'on voulait une équation renfermant tous les points d'où BB' serait vue sous l'angle donné, il faudrait réunir les équations de deux cercles, représentés l'un par l'équation (i), l'autre par celle qu'on obtiendrait en changeant a en — [jL dans (i); et chacune de ces équations représenterait un lieu dont une partie serait étrangère à la question.

Ces considérations bien simples se reproduiront dans bien des circonstances, et serviront à expliquer des résultats qui pourraient surprendre au premier abord ; et c'est pour cela que nous les j)résentons comme méritant toute l'attention des élèves.