I -4- tanga tan^ a' = o
éliminant entre elles tanga', on a
et, à cause de la sjruétrie des équations par rapport à lang a. et tanga', les deux valeurs de tanga seront celles de tanga et tanga', et les deux systèmes d'axes se confondront.
Ces deux valeurs sont toujours réelles, puisque le dernier terme est négatif; et comme il est — i , les deux directions fournies par les valeurs de tanga sont rectangulaires.
Ces diamètres conjugués rectangulaires se nomment les axes de la courbe, ellipse ou hyperbole. Et, en général, on nomme axe d'une courbe quelconque tout diamètre perpendiculaire à ses cordes. Les points de rencontre des axes de l'ellipse ou de rhvperbole avec ces courbes en sont les sonniiets.
2" Posons maintenant
a tansr-a — b langa -f- c = o, a lan^- a' -~- b laiiga'-i- c = o;
tanga et tanga' sont donc les racines d'une même équation : elles seront réelles et inégales si b- — 4 ac > o, c'est-à-dire dans le cas de l'hyperbole seulement. On prendra l'une de ces racines pour tanga, et l'autre pour tang a', puisque les axes X', Y' doivent avoir des directions différentes. Il n'existe donc qu'un seul système d'axes qui réduise l'équation de riiyperbole à la forme
(5) Ba^yH-P=o
CHAVITHE \ 11. 223
Cl l'on reconnaît imniédiatcinciit que ces axes sont asvnijuotes de la courbe.
176. Réciprciquenient, il ii"\ a (]iie celle i'orme cl'écjiialion qui puisse faire que les deux axes soieiiL asMuplolcs.
Considérons, en effet, l'équation généi'ale
ay--^ bfy-r- cx-^ dy-^ ea- -4-/= o.
Pour que l'axe des x soit asymptote, il faut que, .r croissant indéfiniment, j^' tende vers zéro. Or, si l'on divise tous les termes par x-, et qu'on fasse croître x indéfiniment, -)• ne pourra pas tendre vers zéro, car, tous les termes tendant vers zéro, excepté c, l'équation serait impossible. Si donc l'axe des x est asvmptote, il faut que c soit nul; ce qui réduit l'équation à
ay--^ bxy -r- dy -~ ex ~.- f ^ o.
Divisant par x et le faisant croître indéfiniment, on voit '\\w j ne pourra pas tendre vers zéro si l'on n'a pas e = o. 11 faut donc que l'équation ne renferme pas le terme en x-, ni le terme en x, pour que l'axe des x soit asymptote.
De même, pour que l'axedesv' soit asvmptote, il faut que les termes en y- etcn j- n'entrent pas dans l'équation, qui, par conséquent, ne peut renfermer que le rectangle des variables et le ternie indépendant. El comme nous avons vu qu'il n'y avait qu'un seul svstcme d'axes qui pût réduire l'équation générale à la forme (.5), il s'ensuit que l'hyperbole ne peut avoir que deux asvmploles.
177. L'équation (4) renferme l'ellipse et l'hyperbole, et on les distingue par les signes de A et C; et l'on voit, d'après le caractère général propre à l'une et à l'autre, que, si A et C sont de même signe, la courbe sera une ellipse, el qu'ell? sera une hyperbole s'ils sont de signes contraires.
Cas de l'ellipse. — A et C étant de même signe, il faut
2^4 ÉTUDE I)i:S COURBES.
que P soit de signe contraire, ou l'équation n'aurait pas de solutions réelles et ne représenterait aucun lieu. Cherchant les points de rencontre de la courbe avec ses axes, et représentant par a et h les longueurs des demi-axes des x et des Y, on aura
Tirant de là A et C, l'équation (4) deviendra
- — x-'-j- = i ou a- Y- -T- b- x- = a^ b-. a- 0-
Teile est l'équation générale des ellipses rapportées à leurs axes, tant pour la tlircction que pour la grandeur.
Cas de Vhjperhole. — Un seul des axes rencontrera la courbe, puisque A et C sont de signes contraires. Supposons (]ue ce soit l'axe des x, et appelons i a sa longueur, on aura
Mais — T sera négatif et pourra être représenté par — h-. L'équation (4) deviendra alors
cC-y- — 62 x""- = — a"- b"-
Ces équations des courbes à centre sont cell(,'s que l'on choisit ordinairement, comme étant les plus commodes pour la résolution de presque toutes les questions (jui se raj)portent à ces courbes.
11 est certaines questions ccpciuhuit pour les(piclles il est plus avantageux tle prendre pour ongnu; l'un des deux sommets. En clioisissnni pour i ellipse le soniniet (|ui est à gauche du centre sur l'axe des .;■, lui trouve rt''quation
„ „ ,» „ j„ . b- „ ■i.b- "■y -i~ b- X- — ■}. ab- X = o ou jk = 2 '^'" + — ' •"'i
CHAl'lTllK VII. 225
et pour l'In perbole, en [neiiant le soinmcl à (lroil(; du centre,
a- y- — b- X- — lab-x — n ou )-- -^ — - .r- ^ .r;
de sorte que les deux courbes peuvent être représentées îx la lois par une équation de la (orme
y- = mx- — Il r.
m étant négatif dans le cas de Tellipse, et positif dans le cas de l'hvperbole.
178. Changemenl de direct iou des axes dans le cas de la parabole.
Nous avons vu que le changement d'origine ne pouvait, dans ce cas, conduire à rapporter la courbe à un point aussi remarquable que dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole. On pourrait bien faire disparaître un terme du premier degré et le terme indépendant; l'origine se trouverait alors sur la courbe. Mais on n'aperçoit pas facilement (picl serait le point le plus avantageux à choisir; cl il vaut mieux réserver cette question, et commencer à simjilifier l'équation générale, au moven du changement de direction des axes. Soit donc l'équation
ay- — hxy -r- ex- -^ dy -v ex -^ f = o,
et supposons les axes rectangulaires, ce qui ne rcstreinl nullement la discussion, comme nous l'avons déjà fait voir. En substituant à x cl y les valeurs suivantes,
X = x' cos a -^ y' cos a', ^- = x'sin a — ^'siri 3',
et égalant à zéro le coefficient de od y\ nous retrouverons réfjualion
2 rt langatanga' -(- Z»(langa-i- langi') -+- 2C =0. Dm. — Méth. III. l5
Comme elle, renferme deux indéterminées, il y a une infinité de manières d'y satisfaire. Mais si l'on veut que le nouveau système soit rectangulaire, elle devient, comme précédemment
et ses deux racines correspondent, l'une à l'axe des x' , et l'autre à l'axe des y'.
Mais l'équation qui existe entre les trois coefficients des termes du second degré, dans le cas de la parabole, exige que, en même temps que le coefficientdejcy sera nul, celui de x'- ou celui de y'- le soit aussi ; et cela dépendra de celle des deux valeurs de tanga qu'on prendra pour déterminer l'axe des x'.
On aura aussi
