CHAPITRE VIII. 2ay

bolc, suivant (|ii(' Idii a

m Co, /Ji>o, «1 = 0.

L'axedes â: est, dans le cas de riiv|)erbole, son axe transverse; dans le cas de l'ellipse, nous supposerons, [)our fixer l(>s idées et abréger les discussions, qu'on ait ])ris son grand axe pour l'axe des X, el alors la valeur absolue de m sera plus petite (jue i. Soient a, 6 les coordonnées du point cherché, et

a y -^ bx -^ c — o

l'équation fie la droite correspondante.

La distance d'un point quelconque (o'jj') à cette droite aura pour expression

a y -^ bs- -r c

On peut donc regarder ay -+- bx -t- c, qui est le produit de cette perpendiculaire par yVr+Ai', comme étant son produit par un nombre constant inconnu ; de sorte que, en l'crivant l'équation

' ) }/{x — X )'- — I )' — ê I- = av -+- bx -^ c,

on exprime simplement ipie la distance du point (x, ) ) au point (a, ê) est dans un rapport constant avec sa dislance à la droite (aj- + bx -f- c = o). El lorsque l'on aura déterminé a, 6, rt, />, c, on connaîtra le point, la droite et ce rapport constant, qui sera \Ja*-\-h'-. Les calculs se trouveront ainsi plus simples que si on laissait le diviseur \ja- ■+- b-, et qu'on multipliât l'expression pcr une nouvelle lettre représentant le rapport constant.

On remarquera que l'équation (2) peut s'interpréter il'une seconde manière. Elle exprime, en effet, évidemment

aSo ÉTUDE DES COIRBES.

que la distance d' un point quelconijne de la couibe au point (a, ê) est une fonction rationnelle et linéaire des deux coordonnées du point de la courbe. Ce second point (le vue donnerait au problème un énoncé difTéreiit, conduisant à une solution identique.

Occupons-nous maintenant de la délermiiialion des constantes inconnues. En élevant les deux membres de l'équation (i) au carré, et réduisant, on obtient

l J'2(i — a-) — ').abxy^ .r-{i — b- ) — i(^ -^ ac)y

\ — -i^y. -^ bc) X -r- T.- -^ o'' — c- = o,

équation (pii lioit être satisfaite par les coordonnées x,r d'un point quelconque de la courbe donnée, mais peut-être sans réciprocité.

Et quand cette réciprocité aurait lieu, l'équation (3) devrait-elle nécessairement coïncider avec l'équation (i), qui est celle du même lieu ? en d'autres lernu\s, un même lieu ne peut-il avoir qu'une seule équation? C'est ce que l'on admet ordinairement sans raison suffisante, et nous croyons devoir insister sui- ce |)iilnl. qu'il est très facile d'établir rigoureusement.

180. Soienl, en ell'ct, deux équations générales du second degré, et admeltons que toutes les solutions réelles de la première soient solutions de la seconde; nous allons démontrer que les premiers membres ne peuvent différer que par un facteur indé|iendant de a", i'; ou, en d'autres termes, qu'en réduisant à l'unité les coefficients de deux termes semblables, tous les autres sont respectivement égaux dans les deux polynôtu(;s.

Supposons donc qu'on ait réduit à l'unité les coelfictenls de j'-, et que les deux équations soient

y- -t- A xy -t- \ix'--\- Cy -t- D^ -t- E = o, y^--^- A>x-HB'a?2-i-C'7-t-D'T-t-E' = o,