CHAPITRE VlII
,v^ -^{At-^ Or -^ B.r2^ D.r - E = o, j-' -i- (A'j--^C')j — B'j-î^D'x— li'=o.
Si l'on donne à x une valeur à laquelle correspondent doux valeurs réelles de )• dans la première, la seconde cupialion devant admettre ces mêmes solutions, on devra avoir pour cette valeur iiex
Hx'--^ D:r -^ e = B'x2 D'.r — E'.
Mais il y a, par hvpothèse, une infinité de valeurs de x qui satisfont à ces deux équations; donc, d'après un théorème élémentaire, leurs coefficients doivent être respectivement égaux, et, par conséquent, les deux équations en x et;j'sonl les mêmes, terme pour terme.
181. Cela posé, les équations (a) et (3) dcMonl être identiques lorsqu'on aura réduit à l'unité le coelficienl de >''dans la seconde, et l'on devra, par conséquent, avoir les équations suivantes :
I 7.ab b^ — I 6-+-CTC n-^ bc n
Telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il V ait un rapport constant entre les distan(H;s d'un point quelconque de la courbe donnée au point (a, ê) et à la droite ((ly ■+- bx -J- c = o). Ix problème est donc ramené identiquement à trouver les valeurs de a, 6, a. h, c (]ui satisfont à ces cinq équations.
La première exige que l'on ait ab = o, et, par conséquent, a = o ou 6 = o. Mais la dernière supposition est
inadmissible, car la seconde des équations (4) deviendrait
Or elle est impossible si /» =; o; si m <^o, la valeur de a-
serait i H j et par conséquent négative, puisque m est
])lus petit que i en valeur absolue. Enfin, si l'on a m ]> o, les équations (4) donnent, par la supposition de b = o,
— ) O^Ci/lH =o.
La dernière deviendrait, en v substituant les valeurs de a et ê,
et la valeur de c serait iniai;inaire.
On ne peut donc faire 6 = o, et il faut par conséquent que l'on ait a = o ; les autres équationa (4) donnent alors
La premu're donne
et nous entendrons que ce radical renferme implicitement le double signe ; mais nous considérerons d'abord le signe -f-. La seconde apprend que les points cbercliés sont sur l'axe des x. Les deux dernières deviennent
a-T-cv'i-r-»î=-j c = ±%,
et donnent
a(izh/i -^ m)= -,
