CHAPITRE vin. l'.y

d'où

n n{ — I rh v' I — "' )

et, par suite, en tirant c de réf[ualii)n du [ucinier de<;ré, on obtiendra

"(v^i — /« zp I )

les signes supérieurs se correspomlanl dans les valeiii's de a et c, ainsi que les signes inférieurs.

Les valeurs de a, 6 délerniincnt |r |i(iiiil clu relié, cl la droite correspondante aura pour ('(piiilniii

ba: -^ c = o, OU

7((/i -!- m zp i) .

le rapport y/«- + h- est /; ou ^i -H ///.

On reconnaît facilement que le chaiii^einciU de si^iic de y'i -h m ne ferait que changer l'une dans l'autre les deux valeurs de a, ainsi que les deux valeurs correspondantes de X données par la formule (5). On a donc toutes les solutions de la question en se bornant à prendre \J i -+- m avec le signe -I-.

Les points rcmar(Uiablis que nous vcniins de dilcriiiiner se muiimcnl Juj ers ; leur milieu avant pour abscisse

est le centre; les droites corresiiDiidantes se iiom-

ment directrices de la courbe.

182. Ces formules s'appliipient aux trois couriics: mais la résolution des équations (4) est beaucoup plus simple dans le cas de la parabole, pour lafjuelle //( = o. En cflet,

2 M ÉrUUE DES COVRBES.

elles deviennent alors

au ^ o. 6 = rr I . o — ac = o. 2 ^- wc = — ^ ot- — o- ^ C-.

La première donnera </ = o, puisque 6 = dz i ; les autres donaeronl, en se bornant d'abord au signe -j- pour b,

d'où

On trouverait les mêmes valeurs pour a et c en prenant h ^ — I .

Il n'y adonc,dans le casde la parabole. qu"un seul point, situé sur l'ase de la courbe, et une seule droite correspondante, avant pour équation

Au reste, ce calcul particulier n'est pas nécessaire, et les formules générales en donneront les résultats, en cherchant les limites vers lesquelles elles tendent, quand on fait tendre m vers zéro.

183. Les positions des fovers et des directrices sont rapportées ordinairement au centre et à la grandeur des axes dans les courbes à centre : rien n'est plus facile que de les déduire des formules précédentes.

En effet, si l'on nomme ia, ib les longueurs des axes

de lellipse. on aura

ia ^ ;

l'abscisse du centre sera

CHAPITHE Mil, 235

et l'ordonnée h aura pour valeur

On peut donc exprimer m el n au nio\en de (i et b. el l'on aura

b- ih- , Ja--

—; ■, « = — , ^ 1 -T- ni =

on aura donc

2 = a rr y a- — b-.

Les deux fovers sont donc à une dislancc du centre ésrale

distances des points de la courbe au fovcr cl à la directrice eorrespondante sera -; la distance des directrices au centre

-era —

Pour rh\perbole, on aura

b- ib- I \/a'-^^b-

— ) « = 1 v/ I ^ rti =

et, posant

c est donc la distance des foyers au centre; la dislance des

directrices au centre sera encore exprimée par — i et le rap-

|)iirt des distances des points de la courlie au foxer el à

la directrice correspondante, par —

184. L'expression de la distance d'un point delà courl)C .1 un foyer est très simple et nécessaire à connaître.

236 ÉTUDE DKS COURBES.

Pour l'ellipse, par exemple, rapportée à ses deux axes, la directrice correspondante au fover dont l'abscisse est

-Hc a pour abscisse — • Si l'on considère un point quelconque de l'ellipse, ayant pour abscisse x, sa dislance à la directrice sera r; la multipliant par le rapport constant - , ou aura sa distance au l'o\er. En la désignant par o, on aura donc

Si l'on cherche, de mcnie, la distance du même point au second foyer, on trouvera, en ta désignant par o',

d'où résulte