CHAPITRE IX

DÉTERMLNATION D'UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ •D'APRÈS DES CONDITIONS DON'NÉES.

186. L'équation générale du second degré renfermant six termes est complètement déterminée quand on connaît les rapports de cinq d'entre eux au sixième, ou quand on connaît les cinq coefficients qu'elle renferme après qu'on a réduit l'un des six à l'unité. On ne peut donc assujettir une courbe du second degré qu'à des conditions exprimées par cinq équations au plus entre les coefficients de l'équation générale. Si ces conditions fournissaient moins de cinq équations, il y aurait des coefficients non déterminés, et une infinité d'équations, et par suite de courbes, v satisferaient. Si elles fournissaient plus de cinq équations, il serait possible qu'aucune courbe du second degré n'y pût satisfaire ; il y aurait, en général, un nombre d'équations de condition égal à l'excès du nombre des équations fournies sur cinq.

187. Lorsque l'on assujettit la courbe à passer par un point donné, il faut et il suffit que léqualion que l'on a prise pour représenter la courbe, et qui doit être l'équation la plus générale, afin qu'on soit sûr qu'elle renferme celle que l'on clicrcbe, soit satisfaite par les coordonnées connues de ce point. Il résulte de là une équation unique entre les coefficients inconnus de l'équation.

On lire déjà de là cette conséquence qu'en général, par cinq points donnés, on peut faire passer une courbe du

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second degré, mais qu'on ne peut s'en donner arl)ilrairemenl un plus grand nombre. 11 est évident d'ailleurs que les cinq équations qui en résultent peuvent ofl'rir des impossibilités ou de l'indétermination; comme il serait possible aussi qu'une courbe du second degré passât par plus de cinq points donnés si les équations de condition étaient satisfaites.

188. Il est des points dont la connaissance fournil deux équations entre les coefficients, et équivaut par conséquent à celle de deux points de la courbe : ce sont ceux dont les coordonnées peuvent s'exprimer généralement au moyen des coefficients de l'équation. En eflet, quand on donne les coordonnées d'un point de ce genre, en les égalant à leur expression générale, on a deux équations entre les coefficients inconnus.

Si. par exemple, on donne les coordonnées du centre. 1,1 .• , ^.ae — hd •>.rd — hp

on les égalera respectivement a t- et -, , et

^ ^ o^ — lac (j- — .\ac

l'on aura deux équations entre les coefficients a, b, c, d, e, Les foyers sont dans le même cas, car ils sont déterminés quand l'équation de la courbe est donnée; leurs coordonnées sont donc exprimables au moven des coefficients de léqualion générale, et même, quand on n'en connaîtrait pas les fornmles, on peut affirmer que la connaissance d'un foyer équivaut à celle de deux points de la courbe, et ne permet plus par conséquent d'assujettir la courbe à plus de trois conditions, exprimées chacune par une équation entre les coefficients.

Les deux foyers équivaudraient donc à quatre équations, et l'on pourrait encore se donner un point de la courbe, mais pas plus. Et l'on reconnaît, en effet, qu'un point suffira, d'après la propriété que la somme ou la difi"érenee des dislances des points de la courbe aux deux foyers est constante.

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Mais il faut bien s'assurer si les points que l'on se donne sont indépendants les uns des autres, et s'ils n'ont pas des liaisons nécessaires qui ne permettent pas de les prendre tous arbitrairement; car il en résulterait des impossibilités si ces liaisons n'avaient pas lieu, et, au contraire, une diminution dans le nombre des équations si ces liaisons existent. Par exemple, si l'on donnait les deux foyers elle centre d'une ellipse, il n'en résulterait pas six équations distinctes entre les coefficients de l'équation générale. En effet, le centre étant au milieu de la droite qui joint les foyers, ses coordonnées sont les demi-sommes de celles des foyers. Si on ne les donne pas telles, les données sont incompatibles; si, au contraire, elles sont données égales aux demi-sommes de celles qu'on donne pour les foyers, les deux équations fournies pour le centre seront des conséquences des autres, et l'on n'aura réellement que quatre équations distinctes entre les coefficients inconnus.

189. JNous ne saurions énumérer tous les points qui équivalent à deux conditions sim|)les, c'est-à-dire fournissant une seule équation. 11 y a, en effet, une infinité de manières de définir des points dont les coordonnées sont déterminées quand on connaît l'équation de la courbe, que l'on sache ou non en trouver l'expression. Non seulement le centre, les foyers, les sommets d'une courbe sont déterminés par son équation, mais tout |)oiiit lié d'une manière choisie arbitrairement à deux de ces points sera aussi déterminé au moyen des coefficients de celle équation; par exemple, un point assujetti à se trouvera des distances données d'un foyer et du centre, à partager dans un rapport donné la droite qui joindrait un loyer avec une extrémité du petit axe, etc., etc.

Mais si l'on donnait un point assujetti à se trouver à une distance donnée d'un foyer, il est clair qu'il n'équivaudrait