C.IIAPITIVE IX

qu'à une condition simple, puisque Ton aurait à exprimer seulement que la distance de ce point connu à celui dont les coordonnée* sont des fonctions connues des coefficienls est égale à une ligne donnée, etc., etc.

Nous croxons inutile d'en dire davantage sur ce sujet.

190. Passons maintenant aux conditions résultant de droites données, au lieu de points.

Il V a des droites dont la connaissance conduit à deux équations entre les coelficients, et d'autres qui n'en fournissent qu'une seule.

Si, d'après sa définition, une droite est déterminée par l'équation de la courbe, les deux coefficients de l'équation de cette droite sont des fonctions de ceux de l'équation de la courbe; et par conséquent, si une pareille droite est donnée, il en résulte deux équations entre ces coefficients; elle équivaut donc à deux conditions simples.

Si, au contraire, l'équation de cette droite n'est pas déterminée par celle de la courbe, la connaissance de cette droite n'entraînera pas deux équations entre les coefficienls. Si, par exemple, on donne une droite sur laquelle doit se trouver un point remarquable, comme le centre, un^foyer, un sommet, etc., il n'en résulte qu'une équation entre les coefficients ; et on l'obtiendra en écrivant que les coordonnées de ce point, dont on connaît l'expression en fonction des coefficienls, satisfont à l'équation de la droite donnée. Une tangente donnée équivaut encore à une condition unique, parce que la condition d'être tangente s'exprime, comme on l'a fait voir pour le cercle, et comme nous le verrons pour toute courbe, j)ar une seule équation entre les coefiîcients.

El il faut encore s'assurer si les diverses données sont indépendantes les unes d«s autres; car, si elles doivent avoir des liaisons nécessaires et que les valeurs particu- DcH. — Vi-ili. m. ,5

a42 ÉTIDE DES COURBES.

lières proposées n'y salisfassent pas, le proLlème est impossible : et si les équations qui expriment ces liaisons sont satisfaites identiquement par les données, elles seront des conséquences des autres équations, et l'on n'en aura plus entre les coefficients un nombre égal à la somme des nombres correspondants à chaque ligne ou points donnés. Ainsi, par exemple, une asymptote donnée équivaut à deux conditions simples, parce que l'on peut déterminer les équations des asymptotes en fonction des coefficients de l'équation. Il en est de même du centre : et cependant une asymptote et le centre n'équivalent pas ensemble à quatre conditions, parce que le centre de l'hyperbole est situé sur cbaque asymptote. Si donc le point donné n'était pas sur la droite donnée, le problème serait impossible. Mais s'il y est, on ne pourra tirer des données que trois équations entre les coefficients de l'équation de la courbe. On en obtiendra d'abord deux en égalant les coefficients donnés de l'équation de la droite aux expressions générales des coefficients en fonction de ceux de la courbe. Si ensuite on égale les coordonnées du point donné aux expressions générales de celles du centre, l'une de ces deux nouvelles équations sera une conséquence des trois autres, puisque l'ordonnée du centre est une conséquence nécessaire de l'abscisse et de l'équation de l'asymptote. Et toute hyperbole ayant cette asymptote et l'abscisse donnée du centre aura le centre donné; de sorte que trois équations expriment toutes les conditions données, et il en faudrait encore deux^ autres pour que l'hyperbole lût déterminée.

Ce peu de mots suffit pour lever toutes les difficultés qui pourraient se présenter sur ce sujet; et il est évident que CCS considérations sont applicables à toutes les courbes, et ne se fondent eu rien sur le «legré de l'équation.