LES COURBES DU SECOND DEGRÉ SONT DES SECTIONS CONIQUES

191. Les difierenls lieux représentés par léqualion j;éiiérale du second degré jouissent de la propriété remarquable de pouvoir être obtenus en coupant par un plan un cône droit à base circulaire ; et par là nous entendons la surface engendrée par une droite, indéfinie dans les deux sens, qui tourne autour d'une droite fixe qu'elle coupe en un point fixe qu'on nomme le centre de. la surface, en faisant avec la droiie fixe, ou l'axe, un angle constant.

Pour le démontrer, nous allons chercher l'éfpialion de la ligne d'intersection d'une surface conique rpielconquc ])ar un plan.

Si, par l'axe du cône, nous menons un plan pi'r|)('n(iiculairc au plan sécant, il le coupera suivant une droite jjar rapport à laquelle la courbe cherchée sera symétriqu(;, et que nous prendrons pour axe des x.

Fig. 3.J.

-^-Nn

Soient(/îg.39)AHXcelteligne:OAU,0]îSlcsdeuxgénéralricesdu cône,siluécsdansle planquenousavonsmené par

l'axe OV. Posons

VOA = a, OAB = g.

Le point A, que nous choisirons pour origine, est l'intersection du plan donné avec l'une des deux génératrices OU, OS, et il Y en aura toujours une qui sera coupée; mais il peut arriver trois cas. La seconde génératrice peut être coupée du côté OS, situé sur la même nappe du cône que OA; ou du côté OS', situé dans la nappe opposée; et enfin elle peut être parallèle à la trace du plan donné.

Considérons d'abord le premier de ces cas : l'angle ê sera moindre que le supplémen l de 2 a, et la ligne d'intersection AB sera dans l'angle SAU. Posons AB = ar/, OA = b, et menons 1111 ])lan quelconque QR perpendiculaire à l'axe OV; les points suivant lesquels il coupera la courbe seront svniétriques par rapport à AB et se projetteront en P; leur ordonnée sera commune au cercle dont le diamètre est QR; et par conséquent, en la désignant par j', on aura

y^^. QP.PR.

Il reste à exprimer ces deux segments en fonction de Vx, AP.

On trouvera, par le triangle PAR,

^lenatil AA' perpendiculaire à l'axe, on aura