CHAPITRE X. ri/f-j

Au reste, qu'on les sépare ou ([u'on les réunisse, on voit que l'équation (i) représente une ellipse, l'équation (2) une parabole, cl l'équation (3) une livpcrbole, doni l'axe des a; coupe la courbe.

193. 11 reste à voir si l'équation (i), ^généralisée comme nous l'avons dit, pnit coïncider avec la suivante qui renferme toutes les courbes du second degré, savoir

(4) y- -inix nx-,

dans laquelle m peut toujours être considéré (-omme positif, en prenant les x positifs dans un sens comen.ilili' : r| /; peut être négatif, nul ou positif. Le premier cas correspond à l'ellipse, le second à la parabole, et le troisième à l'hvperbole.

En identifiant l'équation (4) à l'équation (1), prise a\ec la généralité que nous avons établie, on obtient

osinotanj;a m, — siiio t;iii;;a — — n. a

Si l'angle a est donné, on ne peut disposer que de h et ê, et il faut qu'on puisse trouver des valeurs de ces deux indéterminées qui satisfassent à ces deux équations. Mais il est d'abord nécessaire d'y substituer à (L sa valeur en fonction de b et 6, qui est

b ^in ■>.% biiH2a-T-o)

et, d'après le signe implicite de a, il faut regarder celui de sin(2a-i-6) comme on le fait dans les formules de la Trigonométrie, de sorte que les deux étpiations auxquelles b el 6 doivent satisfaire sont

, ■ /> . sin(ai -^ S)sinê

6 sino tari;,'a = m, = - n.

cos*a

La dernière, ne renfermant (|ue Z. en donnera la valeur.

248 ÉTUDE DES COVRBES.

el la premièredonnera toujours une valeur positive correspondante pour b. 11 suffit donc d'examiner la seconde, et de voir si elle peut toujours être satisfaite pour une valeur de 6.

On voit d'abord que, dans le cas de la parabole, où l'on a 2 a -;- ê = - et « = o, la seconde équation est satisfaite d'elle-même, el la première, qui devient 2&sin-a = m, détermine la distance b d'après m, quel que soit l'angle donné a. Il suit de là que toute- parabole pent être obtenue par l'intersection dun cône quelconque de révolution par un plan.

Il ne reste donc à examiner que le cas où n n'est pas nul.

En transformant le produit des deux sinus, l'équation de^lent

ccisa a — ro*( 2 x - - 20 ) = — 2/1 cos-ct,

d'où l'on lire facilement

( ')) COS(2 0( -^2ê) = ('2/l-^ 2)C0S-a — I.

La condition pour que l'arc 2a + aê soit réel est que son cosinus soit compris entre — i et + i.

1° Dans le cas de l'ellipse, n est négatif; et on peut toujours le supposer inférieur à i en valeur absolue; il suffit pour cela de prendre pour axe des x le grand arc de l'ellipse représentée par (4) : 111 — 2. est donc positif, et le second membre de (5) est > — i. D'ailleurs an +2 sera plus petit que 2 ; (a» + 2)cos^a sera donc, à plus forte raison, -< 2, et le second membre sera plus petit que i. On trouvera donc une valeur entre o et ti pour l'arc 2 a + aê, d"où l'on tirera une valeur pour ê qui sera moindre que le supplément de l'angle 2a et donnera une section elliptique. La \alcurde b s'ensuivra el l'on aura toujours une solution.

Donc, loule c/lipse penl. ctre uhteiiue par l'intersection (l'un cône (juelcontjiw de révolution par un plan.

2° Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une hyper-