CHAPITRE XI

qu'on fasse croître a iiulérinimcnt, ^- s'approchera indéfiniinenl de 2/)j?, cl il (;n résultera celle conséquence :

A parlir du somniel fixe, la porlion de l'ellipse qui se projeltera dans une étendue finie, aussi grande qu'on voudra, de l'axe des x, s'apjjpidcliora indénnimenl de la parabole avant pour équation

y- ■-- l'px,

puisque la différence des carrés d(!s ordonnées finies des deux courbes tendra vers zéro.

Mais si l'on considérait mi point doni Vx croîtrait indéfiniment avec a, la différence des carrés des ordonnées correspondantes pourrait croître indéfininienl; et comme les ordonnées croîtraient aussi indéfiniment, il faut nécessairement calculer la différence même de ces deux ordonnées. Elle est égale à la différence de leurs carrés, divisée ])ar la somme de leurs premières puissances, c'esl-à-dire à

\/%px ■+- 1

/ T-px — • — \J-ip -•- 1 / ip

Or, pour que cette expression toujours léellc, puisque X est plus petit que 2rt, tende vers /.éro, il est ■\

nécessaire et suffisant que - tende vers zéro, puisque

le dénominateur reste fini : il faut donc qu'on ait x'- -- m/, ([ étant une quantité quelconque tendant vers zéro quand a croît indéfiniment; et, par conséquent, que x soit le yvQ-

duit de rt' par une quantité tendant vers zéro.

Il suit de là que, si l'on considère une abscisse x variant proportionnellement à une puissance //i de <:/, il faut, pour que le point correspondant de l'ellipse s'approche indéfini-

ment de la parabole, que Ton ait m C i- Si l'on avait

m > 7^5 il s'en éloijinerait indéfiniment; et pour m = - la

différence des ordonnées tendrait vers une quantité finie. Les conséquences seraient analogues si l'angle des axes avait une valeur déterminée autre qu'un angle droit.

197. LirniLe d'une ellipse dont un sommet et le foyer voisin restent fixes.

L'équation de l'ellipse rapportée à ce sommet comme origine et à son grand axe comme axe des x sera

a- y- '-. b-x- — idb-x = o;

et si le fover reste à une distance d du sommet, on aura

a — /«'- — lyi = d, (l'uii i- r= lad — d'^,

cl l'équation de l'ellipse variable sera

(fi y- -^ (iad — d- ) .r- — a « ( 2 ad — d'-)j; = o

ou

id' (■).d d^\

d'où l'on conclut d'abord que, si ./„• reste fini, j'- tend vers la limite 4 d-r, quand a croît indéfiniment : et, ])ar conséquent, la partie de Vellipse, à partir du sommet Jixe, qui se projette dans une étendue finie de Vaxe des x, quelque grande qu^ elle soit, tend indéfiniment vers la courbe dont Inéquation est y^ = 4 dx.

Cette courbe limite est une parabole ayant même sommet et même fover.

i98. Mais si l'on considérait des valeurs de x croissant indéfiniment avec «, les ordonnées correspondantes de l'ellipse et de la parabole croîtront de même, et il ne sera pas nécessaire que la différence de leurs carrés tende vers

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zéro pour que la difl'érencc dos ordonnées (dlcs-mcmes y tende. Il ne sulTit plus alors de considérer les termes qui suivent /^dx dans l'équation de l'ellipse : il faut calculer la différence même des ordonnées des deux courbes, qui peut se mettre sous la forme

(t- l-?.d iV-\ , a \ a al

, — — /, I 2rf- f id d-\ ,

l/i dx — l'a cte X — 1 \x-

\ a \ a ci'^ J

et comme l'ordonnée de l'ellipse est moindre que celle de la parabole, le dénominateur est égal à \ 4(^'' niulti[)lié par un nombre compris entre i et s.

En divisant les deux termes de la rractloii par J.c, le dénominateur restera fini, el il ne s'agira plus que de savoir si le numérateur deviendra nul, fini ou infini. Ce numérateur est

id- —

■i.d. I- „ xJ.r — X ^ X - a- ■ — — »

el son second terme est celui dont l'ordre de grandeur est le plus élevé, c'est-à-dire que les rapports des deux autres à celui-là tendent vers zéro; il est donc nécessaire et sul'li-

sanl que le second terme, ou - tende vers zéro pour ipi'il

en soit de même de la différence des ordonnées. On arrive ainsi aux mêmes conclusions que dans le cas [)récédent, et il est inutile de les re])roduire.

199. Ellipses semblables dont, les axes croissent indé- Cinimenl.

Supposons toujours que les ellipses aient un sommet commun, et l'axe correspondant dans la même direction. Leur équation générale sera encore

a-y^~- b-x^ — lab^x = o,

el dans le cas actuel - csl eg réduit l'équation à la forme

et dans le cas actuel - csl égal à une constante /«, ce qui

d"où Ton tire

et l'on voit que quelque petite valeur fixe que l'on donne à x^ y croîtra indéfiniment avec «, et par conséquent l'ellipse variable ne s'approche indéfiniment d'aucune courbe, et s'élèvera au-dessus de toutes celles que l'on pourrait concevoir partant de l'origine. Mais il est facile de reconnaître qu'elle peut s'approcher indéfiniment de l'axe des y dans une étendue aussi grande que l'on voudra En efTet, l'équation résolue par rapport à x est

En laissant de côté la valeur de x qui correspond au signe +, et croît indéfiniment avec a, nous nous bornerons ù considérer

et l'on voit que, quelque grand que soit j', x tend vers zéro à mesure (jue a croît indéfiniment. Ce qui prouve, comme nous l'avions annoncé, que les points de l'ellipse variable s'approchent indéfiniment de la tangente au sommet, dans une étendue aussi grande que l'on voudra, mais qui se projette sur l'axe dans une étendue infiniment petite, relativement à la longueur de cet axe.

On voit par là comment il faut entendre cette propo-