DES TANGENTES AUX COURBES

201. Lorsqu'un point se déplace sur une ligne droite, cette ligne détermine ce qu'on appelle la direction de son déplacement, ou de son mouvement.

S'il suit le contour d'un polygone, la direction du mouvement change d'un côté à l'autre; mais lorsqu'il suit le contour d'une courbe, la même considération ne se présente plus. Faut-il alors l'abandonner, ou lui donner une extension qui permette de l'appliquer à toutes les courbes?

Soient ^{Jîg. 4i)unepositionquelconqued'un pointqui décrit une courbe UV, et M' une autre position voisine. S'il passait de M à M' par le plus court chemin, la corde MM'

donnerait la du-eclion de ce mouvement. Si l'on considère un point M" plus voisin de M que M', et que l'on imagine que le point passe de M à M" par la ligne droite, la nouvelle corde MM' donnera la direction de ce nouveau mouvement. Enfin, si l'on conçoit que le second point pris sur la courbe se rapproche indéfiniment de M, les directions successives de ces mouvements rectilignes qui feraient passer le point mobile de M à ces divers points tendront vers une

CHApnn?: xii. ajy

certaine limite déterminée, qu'elles n'atteindront jamais, si l'on fait suivre aux positions successives du second point une loi qui ne lui permette pas de coïncider jamais avec M; comme, par exemple, si l'on passait d'une sécante à l'aiitri', en prenant toujours le point milieu de l'arc MM': ou encore le point de la courbe dont la projection sur un a\(; fixe serait le milieu (Je la projection de MM'.

Cette direction limite mérite une attention particulière et offre un intérêt véritable dans l'élude théorique des courbes, et même dans leur application à la pratique. Et, en elTel, en restant dans la s^énéralité, la direction variable finira toujours par marcher dans le môme sens vers sa limite, et alors l'arc infiniment petit sera constamment compris entre ces deux droites, dont l'angle a pour limite zéro.

Quand cet angle sera devenu assez petit pour (jiie les instruments les plus parfaits ne puissent faire ajjcrcevoir de différence entre les directions de ses côtés, elles seront pour nous comme si elles se confondaient, ainsi que celles qui joindraient le point M à des points quelconques de l'arc qui est compris entre les extrêmes. On pourrait donc, au point de vue d'une pratique très précise, dire que le mouvement du point est dirigé à partir de M suis'ant la droite limite. Mais, dans une théorie rigoureuse, on ne confond jamais l'arc indéfiniment décroissant avec sa corde ou une portion delà droite limite : on ne dit pas que cette dernière est la direction suivant laquelle l'arc est décrit, quelque petit qu'il soit; mais on dit qu'elle est la direction du niouvenienl du point qui la décrit, lorsqu'il passe en M, ou la direction de la courbe elle-même en ce point.

Cette droite remarquable se nomme la tangente à la courbe.

303. Aucune droite partant du point de contact ne peut commencer par entrer dans la portion du plan qui e^l cuni- Duii. — Mélh. m. n

a58 ÉTUDE DES COURBES.

prise entre la tangente et la courbe. Car cette droite fixe, faisant un angle avec la tangente, serait nécessairement une position de la sécante variable, dont l'angle avec la tangente peut devenir moindre que tout angle donné. Or, l'arc partant de M est toujours compris entre la tangente et la droite supposée : et, par conséquent, cette dernière n'est pas entre l'arc et la tangente.

Cette pi'opriélé de la tangente a quelquefois été prise comme définition générale.

20i. Les anciens géomètres envisageaient autrement les tangentes. Ils les ont considérées d'abord pour le cercle et les définissaient par la propriété de n'avoir qu'un point commun avec la courbe. Cependant, il faut ajouter qu'Euclide démontre dans ses Eléments que, par le point de contact, il est impossible de mener une droite entre la tangente et le cercle.

Quand ils ont considéré d'autres courbes que le cercle, ils n'ont pas donné de définition spéciale pour leurs tangentes; ils semblent avoir pris pour caractère général de ces lignes qu'elles ne pénètrent pas dans l'intérieur des courbes.

Mais qu'est-ce que l'intérieur de la parabole, de l'hyperbole et de toute courbe non fermée ?

Et même pour des courbes fermées qui auraientdes sinuosités, il y a des tangentes qui pénètrent dans l'intérieur, d'autres qui n'y pénètrent pas. Il était donc bien nécessaire de donner une définition plus précise du contact.

11 n'aurait même pas suffi d'introduire la condition qu'à partir du point donné les points de la courbe pris dans les deux sens commencent par se trouver d'un même côté de la droite, car, dans beaucoup de cas, des droites satisfaisant à cette condition ne présenteraient nullement le caractère que l'on attache au contact. La définition que

CHAPITUK XII. ajq

nous avons donnée, et à laf|iicll(; on s'est arrêté depuis Descartes, n'oHVe aucun de ces inconvénients.

LA DÉTERMINATION DE LA TANGENTE SE RAMÈNE A CELLE DE LA LIMITE Dl RAPPORT DE DKl X INFINIMENT PETITS.

203. La corde (jui joint le point de contact au point de la courbe qui s'en rapproche infiniment, étant infiniment petite, peut, de bien des manières, être considérc<î comme appartenant à des triangles infiniment petits. Or, dans tout triangle, les angles sont déterminés par les rapports des côtés, et l'on conçoit par là que l'angle de la sécante avec une direction connue peut dépendre des rapports des côtes de ces triangles ; d'où il suit que la direction de la tangente dépendra de limites de rapports crinfinimcnt petits. C'est ce que nous allons examiner avec détail, dans divers systèmes de coordonnées.

Coordonnées rectilignes. — Soient AX, AY {fig. 4''-) deux axes quelconques auxquels la courbe est rapportée ;

M le point où on veut lui mener une tangente, x et y s(;s coordonnées; M' un point de la courbe infiniment \i)i-iiti de M; S le point où la sécante MM' coupe AX.

La direction de la sécante est déterminée par le rapport

deM'I à MI, ou par son égal — , ou encore par la ligne SP,

j>uisque MP est Vj donné du point M. D'où il suit que la limite de la direction do la sécante, ou celle de la tangente, est déterminée par la limite du rapport des infiniment

200 ÉTVDE DES COCEBES.

petit?, M'T. "MI qui sont les accroissements correspondants (les X et Y, quand on passe du point M à un point infiniment voisin pris sur la courbe.

Lorsque cette limite sera connue, la tangente se construira facilement, soit en prenant à partir de M une longueur quelconque sur une parallèle à AX et menant par son extrémité une parallèle à A\ , dont le rapport avec la première soit la limite trouvée; soit en prenant une longueur PR, telle que PM ait avec elle ce même rapport.

Si, au lieu de construire la tangente, on veut calculer l'angle a qu'elle fait avec l'axe des x, connaissant l'expression ùv la limite du rapport ^^jj , on désignera par/» cette limite et Ion aura, en appelant h l'angle des axes,

sin a: ,. . /" sinf)

- — =t /H. d OU tans^ = sj

sin( 0 — a ) i- m cosf)

expression qui se réduit à m quand l'angle des axes est droit.

20G. Coordon/iéfS polaires. — Soient M (fîg. 43) le point où l'on veut mener la tangente, M' un point infini-

ment voisin, pris sur la courbe. La sécante sera déterminée si l'on connaît l'angle AMS, et la tangente le sera par la limite de cet asigle. C'est cette limite qui sera l'objet de notre recherche. En décrivant du pôle A comme centre un

CHAPITHE XII. 261

arc de cercle qui rencontre AM' eu I, et joignant DI, on aura un triangle infiniment petit MAI'I dont les angles ont des limites qui détermineront la limite de la direction ilM', et se ramèneront aux limites des rapports des côtés infiniments petits de ce triangle.

En effet, l'angle AM'M ne différant de AMS que de l'angle infiniment petit ^l'AM. à la même limite, qui est l'angle de la tangente avec AM, l'angle I du triangle isoscèlc .\IMest égal à A.MI. qui a pour limite un angle droit, puisque la sécante MI a pour limite la tangente au cercle ••n M, qui est perpendiculaire à AM. Il suit do là que la limite de l'angle l du triangle infinitésimal ^IM'I est un angle droit, et que la limite de son angle IM.M' sera complément de la limite de l'angle M', c'est-à-dire complément de l'angle cherché que la tangente fait avec AM.

Or on a

sinlM'At I\l sinlM.M' IM'

d'où, en prenant les limites des deux membres et désignant par |i l'angle cherché,

sinu ,. IM ,. IM

^ = 111117-7-7;, ou langa = lini TYT^-

cos ;x IM IM

On peut modifier cette formule et y introduire seulement les accroissements infiniment petits des coordonnées du point de la courbe. 11 suffit pour cela de remarquer que

la limite du rapport j-^ ne sera pas altérée si on remplace

la corde IM par l'arc de cercle, dont le rapport avec elle a pour limite l'unité. Or, cet arc est égal au rayon AM multiplié par l'angle au centre, qui est l'accroissement de l'angle du rayon vecteur avec .VX.

On aura donc