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ce qui ramène encore à la détermination de la limite du rapport des accroissements infiniment petits des coordonnées.

207. Coordonnées bipolaires. — Supposons maintenant que les points soient déterminés parleurs distances à deux pôles.

Soient M (Jig. 44) le point de la courbe où Ton veut mener la tangente, M un point infiniment voisin pris sur la

courbe et correspondant aux valeurs AH. BK des ravons vecteurs : ce point sera à la rencontre des cercles décrits de A et B avec des ravons respectivement égaux à AH et BR. Il s'agit de déterminer la limite de la direction de la sécante MM' quand MH et MK tendent ^er^ zéro. Tirons les cordes M H. M'R; prenons MC fini et constant, et menons par C une parallèle à M'H, puis par le point S, où elle coupe MM', une parallèle SX à M'K; les quadrilatères MHM'K. et MCSX seront semblables, et la limite de la direction de la diagonale MS sera la tangente cherchée. Or, pour avoir le quadrilatère limite dont la diagonale est la tangente, il suffit de connaître la limite de la longueur MX ; car les angles C et X ont pour limite l'angle droit, comme leurs égaux H et K. Et pour connaître la limite de MX, il suffit de connaître la limite du rapport de MK à MH. lequel est toujours égal au rapport de MX à la longueur constante MC.

CHAVITHE XII. 263

La queslion est donc encore ramenée à délcrniiner la iimile du rapport des accroissemenls infiniment petits des coordonnées AM, MB. On prendra ensuite sur les ravons vecteurs, à partir du point de la courbe, deux longueurs quelconques proportionnelles à leurs accroissements positifs ou négatifs, et dans le sens de ces accroissements: puis, par les extréttiilés, on élèvera des perpendiculaires sur les deux ravons, et l'on joindra leur point de rencontre au point de la courbe : celte ligne sera la tangente cherchée.

208. cintre système de coordonnées. — Considérons encore le système où les points seraient déterminés par leurs dislances à un pôle et à un axe fixe.

Soient A (/Ig. 45) le pôle, \'A l'axe et AU la direction, parallèlement à laquelle sont considérées les dislances à

Taxe; M le point fie la courbe où Ion veut monci' la tangente : les coordonnées de ce point seront AM, el PM parallèle à AU. Leurs accroissements, pour passer de M au point infiniment voisin M', seront MK, MH, el seront portés dans un sens ou dans l'autre suivant que ces coordonnées augmenteront ou diminueront; il s'agit de trouver la limite de la direction MM'.

Menons la corde de l'arc de cercle KM', puis prenons une longueur fixe MC sur la direction MH. el construisons le quadrilatère MCSX semblable ;i MM M K : sa diagonale

sera dans la direction ]Mi\I', et aura par conséquent pour limite la direction de la tangente en M.

Or, l'angle X égal à K a pour limite un angle droit; on connaîtra donc le quadrilatère limite de MGSX si on connaît la limite du côté MX, ou du rapport MC ; ÎNIX, qui est égal au rapport de MH à MK.

La question est donc encore ramenée à trouver la limite du rapport des accroissements infiniment petits des coordonnées, en passant d'un ])oint à un autre de la courbe donnée.

Quand cette limite sera déterminée, on connaîtra la limite du point X ; on y élèvera une perpendiculaire à AM ; par le point C on mènera une parallèle à Z\ : en joignant leur point de rencontre au point M, on aura la tangente demandée.

209. lieniart/iœ. — Dans ce qui précède nous avons supposé les points des courbes déterminés par des relations entre leurs coordonnées; et les infiniment petits au moyen desquels nous avons déterminé la sécante se sont trouvés naturellementétre les accroissements subis par les coordonnées dans le passage du point donné à un point infiniment voisin. Lorsque d'autres infiniment petits se sont présentés d'abord, nous ne nous v sommes pas arrêté, et nous avons toujours voulu arriver aux accroissements des coordonnées, parce que, les points de la courbe étant supposés déterminés par une relation entre ces coordonnées, leurs accroissements simultanés dépendaient l'un de l'autre par cette relation, et la limite de leur rapport en était une conséquence. Et comme cette relation est la seule donnée, c'est à elle qu'il faudra toujours avoir recours pour déterminer les rapports de tous les infiniment ])etits (pi'on voudra considérer. C'est pour cela (]u"ii était convenable de les ramener aux accroissements mi'mes des coordonnées.