CHAPITRE \II. a

Mais, comme des courbes peiiv«nl èlre rléfiiiics autrement (|ue par des équations entre les coordonnées ordinaires de leurs points, il peut très bien arriver qu'on détermine leurs tangentes par dej limites de rapports dinfiniinenl j)elits dépendant de la définition même de ces courbes, sans chercher préalablement leurs équations dans les systèmes lie coordonnées le plus ordinairement admis.

APPLICATION' DES MÉTHODES PRÉCÉDENTES A QlELQrES EXEMPLES.

;210. Tangente au cercle. — En joignant au centre le point donné du cercle et un point infiniment voisin, ces deux ravons et la sécante l'ormi-nt un triangle isoscèle dont l'angle au centre tendra vers zéro, en même temps que la sécante tendra vers la tangente. Les deux autres angles du triangle ont donc chacun pour limite un angle droit ; et par conséquent la tangente au cercle est perpendiculaire au l'ayon mené au point de contact .

till. Tangente à l'hyperbole et <i l'ellipse. — Su])pr)sons les points de ces courbes déterminés par leurs distances aux deux foyers.

Dans l'hvperbole, les deux dislances croîtront d une même quantité, en passant du point donné à un point infiniment voisin; il faudra donc, d'après la règle donnée précédemment, porter, à partir du point de la courbe, sur les deux ravons vecteurs prolongés, des longueurs égales quelconques, élever à leurs extrémités des |ierpendiculaires à ces ravons et joindre leur point de rencontre au point donné. Cette droite, qui sera la tangente, partagera en deux parties égales l'angle des rayons vecteurs.

Dans l'ellipse. Tune des distances diminuera delà ménu' quantité que l'autre croîtra. Il faudra donc porter, à parti i-

266 ÉTUDE DES CODTIBES.

du point de la courbe, des longueurs égales sur l'un des rayons vecteurs, et sur le prolongement de l'autre élever par leurs extrémités des perpendiculaires à ces rayons, et joindre leur point de rencontre an point de la courbe : on aura ainsi la tangente, qui sera la bissectrice de l'angle formé par l'un des rayons vecteurs avec le prolongement de l'autre.

212. Tangente à la parabole. — Supposons les points de celte courbe déterminés parleurs distances au foyer et à la directrice. Ces distances devant toujours être égales, leurs accroissements seront égaux et de même signe. Il faudra donc, d'après la règle, prendre sur le prolongement du rayon vecteur et sur celui de la perpendiculaire à la directrice une même longueur quelconque, et élever des perpendiculaires à leurs extrémités respectives. En joignant leur point de rencontre au point de la courbe, on aura la tangente demandée. Il est évident qu'elle partagera en deux parties égales l'angle du rayon vecteur et de la parallèle à l'axe.

213. Tangente à la cjcloïde. — On appelle cycloïde la courbe engendrée par un point d'un cercle, qui roule sans glisser sur une ligne droite immobile.

Soient A {fîg. ^6) le point de contact du cercle et de la

Fig. 4G.

droite XY dans une (pnlcoïKpic de ses positions, M le

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poinl correspondanl de la cvrloïdi-. l'I O le i-ciilre du cercle.

Poui- avoir un point de la CNcloïde qui soit iidiniiiionl voisin de M, on prendra un are AN infiniment prlil >Mr le cercle, et AJV' égal à AN sur la droite fixe. Le point N, ])ar un déplacement infiniment petit du cercle, deviendra le point de contact en N', et il s'agit de déterminer la jjosition correspondante du point générateur ^I. Or, on pourra amener le cercle dans cette position en le faisant d'abord tourner autour du point O innnobiie, jusqu'à ce que N arrive en A, puis faisant mouvoir tout le svstcme parallélemi'nl à la droite fixe d'une quantité égale à AN'.

Dans le premier mouvement, M vient en M', en prenant l'arc MM'= NA; et dans le second mouvement M' décrit une droite M'M" parallèle à XY, et égale à AN', et jiar conséquent à l'arc MiM'. M" est donc un jioint de la cycloïde, ri il faut trouver la limite de la direction de la sécante MM'' quand AN tend vers zéro.

Or, si l'on joint MM', on i'ornicia un hiangle M.M'^I'. dont l'angle M' aura pour limite l'angle de la tangente IMT' au cercle avec la parallèle MV' à XY; et le rap|)ort des deux côtés qui comprennent cet angle a pour limite i, puisque l'arc MM' est égal à M'M' et (pie le côté MM' du liiangle est la corde de cet arc. Il suit de là <pie la limite du rapport des sinus des deux angles ]M, M" du triangle est i ; il faut donc que les limites de ces angles soient égales, puisqu'elles ne peuvent être supplémentaires, vu que le troisième angle est fini.

De celte égalité, et de ce que langle M" est égal à M'M V, et que la limite de la direction MM' est celle de la tangente Mï' au cerclé, il résulte que la limite de la sécante, ou la tangente à la cycloïde, partage l'angle Ï'M V en deux ])aities égales et, par conséquent, passe à rcxtrémilé B du diamètre mené par A. La normale est, par suite, la ligne M\.