CHAPITRE XIX. l

» la même chose que des rapports. » J'avoue que je ne sens point la force ni la vérité de cette raison : elle tendrait à renverser toutes les notions algébriques par des limitations inutiles et forcées; et elle ne serait juste d'ailleurs qu'en supposant que les quantités négatives sont au-dessous de zéro, ce qui n'est pas. »

lo3. Carnot approuve la réfutation de d'Alembert, et s'exprime en ces termes, au commencement de sa Géométrie de position :

« Les notions qu'on a données jusqu'ici des quantités négatives isolées se réduisent à deux : celles dont nous venons de parler, savoir que ce sont des quantités moindres que zéro ; et celle qui consiste à dire que les quantités négatives sont de même nature que les positives, mais prises dans un sens contraire. D'Alembert détruit l'une et l'autre de ces notions. Il repousse d'abord la première par un argument qui me paraît sans réplique.

» Soit, dit-il, cette proportion :

Si la notion combattue était exacte, c'est-à-dire si — i était plus petit que zéro , à plus forte raison serait-il moindre que i ; donc le second terme de cette proportion serait moindre que le premier; donc le quatrième devrait être moindre que le troisième, c'est-à-dire que i devrait être moindre que — i ; donc — i serait tout ensemble moindre et plus grand que i, ce qui est contradictoire. »

154. Ces diverses opinions sont aussi peu fondées les unes que les autres.

Et d'abord, quand on nie que les quantités négatives soient moindres que zéro, il faudrait demander à ceux qui l'affirment ce qu'ils entendent par là; autrement on ne

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saurait pas ce que l'on nie. Et, si on l'avait fait, on aurait fini par s'entendre; car il n'est jamais venu à l'esprit de personne de prétendre qu'il y ait quelque chose de plus petit que rien.

Quant à la prétendue démonstration de d'Alembert, approuvée par Garnot, il est bien étrange que ces deux illustres géomètres n'en aient pas aperçu le défaut.

Que signifie cette proportion I : — i :: — i : i? d'où vientelle? comment l'entend-on? Est-elle résultat ou donnée? Si l'on entend qu'on fasse les divisions d'après les règles des signes dans le cas des polynômes, on dira en effet que

le rapport ^est — i, comme le second 5 et l'on pourra

appeler leur égalité une proportion. Mais on n'attachera réellement aucun sens à ces opérations, et les remarques faites dans le cas des véritables proportions n'auront aucune raison de s'appliquer ici : et l'on ne pourrait dire que, si le premier terme d'un rapport est plus grand que le second, il en doit être de même dans l'autre. Quelle définition donnera-t-on de plus gj^ajid ou plus petit, relativement à des choses qui ne sont pas des grandeurs?

Ces observations suffisent pour montrer le vide de ces simulacres de raisonnements, qui se font sur des choses non définies, sans existence réelle, et où l'on se sert de propositions établies sur des grandeurs véritables.

155. Nous ajouterons cependant que si nous avons soulevé cette question, ce n'est pas seulement pour mettre en garde contre ce que l'on dit de défectueux à son sujet: c'est aussi pour montrer comment, contrairement à l'opinion de d'Alembert et de Garnot, il peut y avoir lieu de considérer les quantités négatives comme plus petites que zéro. Il est nécessaire pour cela de rappeler les premiers principes du calcul des inégalités, qui sont si simples, que