CHAPITRE XIX

nous n'avons pas cru devoir nous en occuper spécialement, mais qui nous offriront des discussions intéressantes dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie.

Lorsqu'une inconnue doit satisfaire à une condition d'inégalité, on en tire non une valeur, mais une limite, supérieure ou inférieure, pour cette inconnue. Pour y parvenir on fait passer les termes d'un membre dans l'autre, suivant les mêmes règles que pour les équations ; et comme on peut multiplier ou diviser par un même nombre absolu les deux membres d'une inégalité sans en changer le sens, on pourra chasser les dénominateurs, et réunir dans un même membre tous les termes affectés de l'inconnue ; il suffira alors de diviser les deux membres par son coefficient, pour avoir la valeur et le sens de la limite cherchée. Mais si les nombres connus sont représentés par des lettres dont les valeurs puissent être prises arbitrairement, on sera exposé, comme dans le calcul des équations, à trouver des soustractions impossibles quand on particularisera ces valeurs; et l'un des membres, ou même tous les deux, pourront se présenter sous la forme de quantités négatives.

Si, par exemple, en parlant de l'inégalité

(1) a-\-h<^c^d, on tire

(2) a — c <^d — b, et que dans un cas particulier on ait

dz=zb,

et, par suite,

d'après (i), (2) se réduira à

(3) rt— c<o;

l68 SCIENCE DES NOMBRES.

et, comme a — c est négatif, l'inégalité (3 ) exprime qu'une quantité négative est plus petite que zéro.

Et c'est ce que l'on trouvera toutes les fois que l'on retranchera des deux membres d'une inégalité une quantité égale au plus grand membre, comme on l'a fait sur (i), dont on a retranché c -\- b on son égal c-\-d aux deux membres.

Au reste, (3) n'est qu'une manière d'écrire a<^c,e,lVon devra préférer cette dernière ; mais l'autre n'aura aucun inconvénient, si l'on sait qu'elle provient de ce que l'on a soustrait une quantité trop forte aux deux membres. Et comme on ne sait pas toujours si les soustractions seront possibles dans les cas particuliers que l'on pourra avoir à considérer, il faut se résigner à accepter cette forme de l'inégalité, ou ne pas faire le calcul général. Mais ce serait se priver de l'avantage des solutions générales, et sans aucun intérêt, puisque la forme bizarre du résultat est interprétée d'avance, et pourra être changée sans difficulté.

Et si l'on avait retranché des deux membres une quantité qui, dans un cas particulier, se trouverait supérieure au plus grand membre, les deux membres se trouveraient négatifs, et celui qui aurait la plus grande valeur absolue serait indiqué comme le plus petit; de sorte que les quantités négatives seraient appelées d'autant plus petites que leur valeur absolue serait plus grande. Et tout cela serait d'accord avec les propositions qui ont lieu dans le cas des nombres absolus. Par exemple, si l'on ajoute une quantité absolue plus petite qu'une seconde, la somme est moindre que si l'on ajoutait la seconde ; or il en sera de même pour l'addition de quantités négatives, telle qu'on l'entend, pourvu qu'on regarde comme la moindre de deux quantités négatives celle qui a la valeur absolue la plus grande.

Au reste, les inégalités dont les deux membres sont négatifs prendront une forme réelle, en faisant passer res-