CHAPITRE XIX. l

Ijnôme, il l'abandonne aussitôt pour se demander comment soustraire — b de a, question qui n'a aucun sens. Pour y répondre, il ajoute et retranche b de «, ce qui lui donne a-\- b — b, et il regarde comme évident que retrancher— b c'est l'effacer, ce qui est un non-sens double; car c'est d'abord supposer qu'on attache un sens à la soustraction de — bf qui n'en a aucun, et ensuite que la soustraction algébrique soit la suppression non pas d'un nombre, mais d'une opération.

151 . Passons à la multiplication. Il admet que — a multiplié par -I- donne — ab, par la raison que c'est la répétition de — a un nombre de fois marqué par b. Mais si — a isolé n'a aucun sens, que signifie la répétition de — a? Gela admis, il remarque que tout produit dont le multiplicateur est b — b doit être nul; d'où il conclut que — a multiplié par ^ — b donne pour produit zéro. Or — «multiplié par le premier terme b donne, comme il vient de l'établir, — ab; donc il est nécessaire que le second terme, ou le produit de — «par — b, donne -\- ab pour le détruire.

Cette démonstration pèche d'abord comme la précédente, en ce qu'on se propose de multiplier — a, ce qui n'a pas de sens. Etensuite, en prenant pour multiplicateur Z> — b qui est un polynôme, la quantité négative — b n'est plus isolée : de telle sorte que, s'il avait pris un multiplicande réel, par exemple m — a, il aurait démontré que — a multiplié par — b donne un terme -f- ab au produit, quand — a et — b sont des termes de facteurs polynômes. Il ne prend donc même pas la question qu'il annonçait, savoir la multiplication de deux quantités négatives isolées.

Quant à la division de deux monômes, dont l'un au moins est négatif, c'est de même une opération qui n'a pas de sens, et qu'il ramène à la multiplication d'après la définition qu'on en donne quand elle signifie quelque chose.

l64 SCIENCE DES NOMBRES.

Et nous dirons généralement que toute démonstration de règles sur les quantités négatives isolées ne peut être qu'une illusion, puisqu'il n'y a aucun sens à attacher à des opérations arithmétiques sur des choses qui ne sont pas des nombres, et n'ont aucune existence réelle.

SI LES QUANTITÉS NÉGATIVES ISOLÉES DOIVENT ETRE DITES PLUS PETITES QUE ZÉRO.

152. Euler, dans son Introduction à V Analyse infinitésimale, a dit que les quantités négatives étaient moindres que zéro.

D'Alembert, dans le premier volume de ses Opuscules mathématiques , s'exprime ainsi à ce sujet :

« Qu'il me soit permis de remarquer combien est fausse l'idée qu'on donne quelquefois des quantités négatives, en disant que ces quantités sont au-dessous de zéro. Indépendamment de l'obscurité de cette idée envisagée métaphysiquement, ceux qui voudront la réfuter par le calcul pourront se contenter de considérer cette proportion

proportion réelle, puisque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens , et que d'ailleurs = — i et

= — i. Cependant, si l'on regardait les quantités négatives comme au-dessous de zéro, i serait ^ — i , et — I <^ i ; ainsi il ne pourrait y avoir proportion. Il est vrai que M. Leibnitz prétend que — i n'est pas moyen proportionnel entre i et i, non plus que — i entre i et 4, quoiqu'il avoue que — 2X — 2 = ix4> « parce que les » quantités négatives, dit-il, entrent dans le calcul sans » entrer dans les rapports, et que des fractions ne sont pas