CHAPITRE XX

Considérons à cet effet l'équation

( I ) IX — .r^ = 5.

En agissant comme dans les cas précédents, on obtiendra d'abord

x"- — 2x1= — 5, puis

Or, avant d'aller plus loin, on reconnaît qu'aucun nombre positif ou négatif mis pour x ne peut rendre égaux les deux membres de cette dernière équation; car, soit que X — I soit un nombre absolu, ou un nombre précédé du signe — , si l'on suit toujours les règles ordinaires des signes, son carré sera un nombre absolu, et ne pourra être identique à — 4- D'où il suit qu'aucun des moyens de solution, précédemment reconnus, ne s'appliquerait ici.

On pourrait s'arrêter là, après avoir reconnu l'impossibilité de satisfaire à la proposée par des valeurs positives ou négatives ; et l'on ne rencontrerait ainsi ni difficultés, ni la moindre obscurité.

Ce qui peut en introduire, c'est de vouloir aller plus loin, sans se rendre compte ni de ce qu'on veut, ni de ce qu'on fait.

Or, si l'on veut continuer le calcul sur l'équation (2), comme dans les cas où il n'y avait pas d'impossibilité, jusqu'à ce que l'un des membres soit Xy et le second, une indication d'opérations sur des nombres, on écrira successivement

expressions insignifiantes, mais telles, que si on les substitue à X dans (i), en suivant les règles des signes et traitant la

D. — Se. de rais., a' Part. 12

racine de — 4 comme si c'était vraiment un nombre, c'està-dire en entendant que son carré sera — 4> ^^ trouvera les deux membres identiques, tant dans leurs parties réelles que dans leurs parties imaginaires. Et cela ne saurait étonner, puisque les équations (3) deviennent des identités quand on y met, au lieu de x, i db y^ — 4 •

En élevant les deux membres au carré, de la manière que nous venons d'indiquer, les deux membres (2) seront identiques, et par suite ceux de la proposée (i). Mais il ne faut pas voir là des opérations véritables. Toutes les équations qui ont été écrites n'étaient en quelque sorte que des manières différentes d'écrire la première, dans la supposition que les opérations se faisaient d'après les principes ordinaires ; il devait donc forcément arriver que si l'on rendait identiques les deux membres de la dernière, par une substitution indiquant des opérations connues, mais dans ce cas dépourvues de sens, en remontant jusqu'à la première et effectuant les opérations d'après les principes ordinaires, toutes les équations par lesquelles on passerait ainsi présenteraient la même identité.

Si l'on applique, par exemple, le principe que la racine d'un produit est le produit des racines, et qu'on regarde — 4 comme le produit de 4 par — i, on écrira

s//\. v'— I ou 2 \i'~~ I ,

au lieu de \J — 4 î c'est ce que l'on fait ordinairement, et l'on fait porter ainsi ce que l'on appelle Vimaginaire sur — i . Aux mêmes conditions, le trinôme x- — ix -\-^ sera le produit des deux facteurs du premier degré

X — I -f- 2 sj — I et X — I — 2 sj — I ;

ce que l'on trouve en effet en faisant la multiplication, comme il a été indiqué.