ÉQUATIONS LITTÉRALES DU SECOND DEGRÉ

162. Si l'on veut résoudre généralement les équations du second degré, et trouver des formules au lieu de résultats numériques, il faudra représenter les quantités connues par des lettres. Il y aura encore, comme dans le cas des équations du premier degré, à considérer les diverses combinaisons de signes que l'équation peut présenter ; et, comme dans ce cas, on remarquerait que les calculs faits pour deux combinaisons différentes se correspondraient toujours de telle sorte, qu'on passerait des uns aux autres par le simple changement de signe des lettres qui sont facteurs dans les termes qui ont des signes différents dans les équations d'où l'on part ; en entendant toujours que les opérations s'effectueront d'après les principes établis dans le cas où toutes ces opérations ont un sens réel.

Il suit de cette remarque qu'il suffit de faire le calcul pour une seule combinaison des signes ; et il convient de prendre celle qui sera la plus commode à retenir et à appliquer ; et ce sera évidemment celle où tous les termes, étant placés dans un même membre, seront afî'ectés du même signe.

Soit donc proposée l'équation

(l) X- -\-px -\- q T=:0,

En complétant le carré, dont les deux premiers termes sont x--{-px, par l'addition de y-» et faisant passer «7 dans le second membre, l'équation (i) prendra la forme

l8o SCIEKCE DES NOMBRES.

les multiplications s'effectuant d'après les règles des signes établies pour les polynômes.

Prenant les racines carrées des deux membres, on pourra satisfaire à (i) de deux manières, et les deux équations du premier degré qui les feront connaître pourront s'écrire ainsi :

p et (jf pourront être implicitement négatifs, et toute expression qui rendra identiques les deux membres de l'équation (2) rendra de même identiques ceux de l'équation (i), en entendant toujours que les règles des signes seront suivies, et que le carré de \/ j </ soit dans tous les cas

remplacé par y q, quel que soit le signe de cette dernière expression, et l'identité aura lieu séparément dans les parties réelles et dans les parties imaginaires. On tire de (2) les deux valeurs suivantes pour x:

et ces expressions substituées à x dans x--r-px-h q, les opérations étant effectuées comme nous l'avons dit, la partie réelle sera nulle, ainsi que le coefficient de y/ — i.

163. Pour obtenir. les solutions d'une équation numérique quelconque, on fera la substitution a p et q des nombres correspondants dans cette équation particulière, en tenant compte des signes de la manière constamment entendue.

Si, par exemple, on veut appliquer la formule (3) à la