EXTEJSSION DE QUELQUES THÉORÈMES PRÉCÉDEIÎTS AU CAS DES IMAGINAIRES

164. Dans le Chapitre XV, nous avons démontré que, si un polynôme de degré m était rendu nul pour m valeurs différentes de x, positives ou négatives, il était égal au produit de m facteurs du premier degré, ayant pour premier terme x et pour second chacune des valeurs respectives qui l'annulent, changées de signes, multiplié en outre par

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le coefficient du premier terme du polynôme. Nous avons démontré ensuite qu'un polynôme du degré m ne peut s'annuler pour plus de m valeurs différentes de x, que lorsque les coefficients des différentes puissances de x sont tous nuls séparément : ce qui a conduit à cette autre proposition, que deux polynômes qui prennent des valeurs égales quand on substitue successivement plus de valeurs à x qu'il n'y a d'unités dans le degré le plus élevé, sont les mêmes, terme pour terme.

Nous nous proposons d'étendre ces théorèmes au cas où les expressions qui annulent le polynôme sont imaginaires, de la forme de celles que nous ont présentées les racines des équations du second degré. Et, pour bien préciser la question, nous entendons que les opérations se feront suivant les règles démontrées pour les quantités réelles, sans y attacher aucune idée de quantité ; et que l'on ne réduira jamais entre eux que les termes réels d'une part, et les termes imaginaires d'une autre, par la simple réduction des coefficients de y/ — i .

Et lorsque nous dirons qu'une expression imaginaire substituée à x rend un polynôme nul, nous entendrons toujours que la substitution, effectuée d'après les procédés que nous venons d'indiquer, donne une partie réelle nulle d'elle-même, et pour sj — i un coefficient nul de lui-même.

Il résultera de cette manière d'opérer que le produit de plusieurs expressions imaginaires de la forme a-\- h \J — i sera aussi de même forme, et qu'il sera indépendant de l'ordre dans lequel les multiplications seront faites ; car il en est ainsi pour le produit de binômes réels, qui contient les mêmes termes dans un ordre différent, dans quelque ordre qu'on ait multiplié les facteurs. Or, dans le cas des facteurs imaginaires, on fait les multiplications de la même manière que s'ils étaient réels ; les termes seront donc nécessairement les mêmes dans quelque ordre qu'on effectue