CHAPITRE XX. l

la multiplication des expressions imaginaires en nombre quelconque.

d6o. Cela posé, nous allons démontrer que, de même que dans le cas des facteurs réels, le produit de plusieurs facteurs imaginaires ne peut devenir nul que si l'un de ses facteurs est nul. Pour cela, considérons d'abord le produit de deux facteurs

qui est

ccc,' — Ç-/J + (ae' + a'e) \j'~\ ;

pour qu'il soit nul, il faut, d'après ce qui a été entendu, que l'on ait séparément

«a' — eÇ' rz=: o, ^A' + a'€ == o.

Or nous allons prouver que ces deux équations exigent que l'on ait ou a = o, S = o, ou a'= o, 6'= o. En effet, supposons que ni a, ni ê ne soient nuls ; tirant de la

première équation ê'= — ^j et le reportant dans l'autre,

on aura, en multipliant ensuite par S,

ce qui exige qu'on ait

et, par suite,

Si l'une des deux quantités a, ê était seule nulle, on arriverait à la même conséquence; car, si a = o, les équation précédentes deviennent

Ça'=0, 66':=:: o OU a' mr^ O, 6'r:^0,

l84 SCIENCE DES NOMBRES.

puisque € n'est pas zéro. Et, si c'est 6 qui est nul, elles deviennent

et, comme a n'est pas nul, il faudra encore

Concluons donc généralement que, pow que le produit de deux expressiojis imaginaires de la forme a ~\- b sj — i soit nul, il faut que Vune des deux le soit.

166. On peut étendre cette proposition à un nombre quelconque m de facteurs imaginaires ou réels; le produit peut être considéré comme résultant de la multiplication de deux facteurs, l'un qui serait le produit des m — i premiers et serait encore de la forme a-\-b \j — i , ^ ou « pouvant être nuls, l'autre qui serait le dernier des facteurs proposés. Il faudra donc, pour que leur produit soit nul, ou que ce dernier facteur soit nul, ou que le produit des m — I premiers le soit. Supposons que le dernier facteur ne soit pas nul, le produit des m — i premiers le sera donc. De même, si le dernier de ce produit, ou l'avant-dernier des proposés n'est pas nul, le produit des (m — 2) premiers le sera. En continuant ainsi, on arriverait jusqu'au premier facteur, si aucun des autres n'était nul, et il faudrait que ce premier le fût.

Donc, pour que le produit de m expressions réelles ou imaginaires de la forme A-{-B y/' — i soit nul, il faut que Vune de ces expressions au moins le soit.