Si un polynôme

A .r'« H- Bx'"-' 4- . . . H- Tx -f- U

est rendu nul par ni expressions différentes, imaginaires ou réelles, il peut être regardé comme le produit de m facteurs du premier degré, et de son premier coefficient A. En effet, puisqu'il admet une racine x -i- ^ \f- — 1 , il peut, d'après ce qui vient d'être démontré, se mettre sous la forme

Ax'" -f- . . . + U

— (x — a— e^'^) (Ax'"-»H-B,j;"'-2-f.,.-}-Ti.r+U,).

Maintenant ce produit devant, d'après l'hypothèse, devenir nul quand on met pour x une expression a'-f- o' y/ — 1 différente de a 4- o \J — i , le premier facteur ne s'annulant pas, il faudra que le second s'annule ; d'où il suit qu'il

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sera divisible par x — a! — 6' ^ — i , et pourra se mettre sous la forme

et l'on aura

=: (^ a g ^Zr7) (x - «'— g' sh^x) ( Aa:'"--+ . . . 4- U^).

On continuera ainsi jusqu'à la 7?z'^™*' racine du polynôme, et l'on aura, comme nous l'avions énoncé,

Aa:'« + Bx'«-M- . . . 4- T.r H- U

:= A (.r — a — g v/ITT) ( or — a' — e' ^"=7 ) . . .

169. Enfin, si le polynôme de degré m était rendu nul par plus de m expressions différentes, réelles ou imaginaires, il s'ensuivrait qu'il est identiquement nul, c'est-àdire que les coefficients des différentes puissances de x sont tous nuls séparément ; d'où il suivra que le polynôme serait zéro, quelque expression réelle ou imaginaire qu'on substituât à x. En effet, considérant m de ses racines supposées, c'est-à-dire des expressions qui l'annulent, il sera décomposé en m facteurs du premier degré en x, et en outre du facteur A.

Maintenant il doit s'annuler par une nouvelle expression qui n'annule aucun des facteurs autres que A; donc il y aurait contradiction si l'on n'avait pas A= o, et, par conséquent, le polynôme proposé a tous ses coefficients nuls, comme nous l'avions démontré dans le cas des racines réelles, par des raisonnements que nous reproduisons ici en les abrégeant.

Corollaire. — On conclut de là que, si deux polynômes