CHAPITRE XX

de degré m sont égaux quand on substitue à x successivement plus de m valeurs différentes, réelles ou imaginaires, ils sont les mêmes terme pour terme.

Le théorème analogue, démontré pour le cas de plusieurs variables, s'étend ainsi au cas où les valeurs données à ces variables sont imaginaires.

170. Remarque. — Si un polynôïne, dont les coefficients sont tous réels, est rendu nul pour x =.c(.-\- o \J — i,

il le sera aussi par x = a — o \J — i .

En effet, dire qu'il s'annule par la substitution de a H- o \J — I à X, c'est dire que la partie réelle du résultat est nulle, ainsi que le coefficient de \J — i . Or, d'après la manière dont nous effectuons ces opérations, le résultat de la substitution de a — S y^ — i ne différera du premier que par le signe de \J — i ; il sera donc nul comme le premier.

Il suit de là que, si le polynôme est de degré /;i, il pourra être mis sous la forme

ou

Théorème I. — La racine carrée d'une expression imaginaire a-r-b \J — I est de même forme.

Ce qu'il s'agit de prouver, c'est qu'il existe une expression X -\- y \J — I qui, multipliée par elle-même de la manière convenue, donne pour partie réelle a et pour partie imaginaire b yj — 1 , quels que soient les signes de a et b. Jl faudra pour cela qu'on ait les deux équations

l88 SCIENCE DES NOMBRES.

Leur système est équivalent au suivant :

y =z — , X* — ax' -zrro.

La dernière équation ayant son dernier terme négatif, et étant de degré pair, a une racine positive et une racine négative ; et comme elle n'a que des puissances paires de x, ses racines sont deux à deux égales et de signes contraires, et indépendantes du signe de b.

Considérant d'abord la racine positive, y prendra une valeur réelle unique qui changerait de signe avec b, et X -\-j \J — I sera donc une racine carrée de a-{-b y — i , et X — j\l — I le serait de a — b \J — i . Considérant la valeur négative, y aura la même valeur au signe près que dans l'autre cas, et l'on aura une seconde racine qui sera

— x—y sj— i ,

ou la première changée de signe.

Le théorème est donc démontré, et zt:\x-±iy\j — i) représentent les racines àe a±b sJ — i , les deux signes de y étant liés à ceux de b.

Théorème IL — La racine cubique de a-\~ b \J — i est de même forme.

Il s'agit de prouver qu'on pevit trouver pour x et y des valeurs réelles telles, que l'on ait

Cette condition conduit aux deux équations suivantes :

x} — 3xj'^=Z ût,

Pour avoir une équation du premier degré en jy on