CHAPITRE XX. I

multipliera la première par y et la seconde par Sx, puis on les retranchera, ce qui donnera

d'oii

3bx

et reportant dans la première, on obtiendra une équation du neuvième degré en x, réductible au troisième en prenant x^ pour inconnue, et dont le dernier terme sera — a^. Elle aura donc une racine réelle de même signe que a^ ou que a, et la valeur dey sera réelle et de même signe que b. On aura donc une racine cubique de a-f- ^ \J — i , qui sera

X et j étant réels. c. q. f. d.

171. La valeur ci-dessus, qui donne y et x, change de signe avec b, sans changer autrement. On aura donc une racine de a — b ^ — i en prenant x — y y/ — i .

Mais, indépendamment de cette remarque, il est clair que le cube de x — y \J — i , formé suivant les règles convenues, ne différera de celui de x -hy yj — i que par le signe du coefficient de \J — i ; si donc cette dernière expression élevée au cube donne a-\- b sj — i , l'autre donnera pour cube a — b \J — I .

La même observation s'applique aux racines de tout autre degré des expressions de la forme

a-àzb sj — I .

172. Théorème III. — Si im. polynôme P est divisible séparément par [x — a)'" et [x — b)" ^ a et b étant réeb ou imaginaires, il le sera par [x — a)"^ [x — b)".

igO SCIENCE DES NOMBRES. CHAPITRE XX.

En effet, soit Q le quotient de P par [x — «)"', on aura

Or, P étant divisible par [x — b)"^ devient nul quand on fait x=zb, et comme le facteur [x — a)"^ ne le devient pas, c'est Q qui doit le devenir : donc Q est divisible par X — b. Reste à savoir à quelle puissance x — b est facteur dans Q. Or il est facile de voir que c'est à la même qu'il l'est dans P. Car, s'il l'était à une puissance plus élevée dans l'un que dans l'autre, en divisant les deux membres de l'identité (i) par la plus faible des deux, x — b resterait facteur dans l'un des deux membres, sans l'être dans l'autre ; de sorte qu'en faisant x =:b l'un des membres s'annulerait, et non l'autre; ce qui serait absurde.