NOUVELLE EXTENSION DONNÉE AUX EXPOSANTS

173. Les exposants ont été imaginés d'abord pour exprimer le nombre de fois qu'une quantité est prise comme facteur: ils sont donc nécessairement des nombres entiers. Il résulte de cette définition des règles très-simples pour la multiplication et la division des puissances d'une même quantité, ainsi que pour l'élévation à une puissance quelconque ou l'extraction d'une racine d'une quantité déjà affectée d'un exposant.

Mais il y a une restriction à apporter à cette dernière règle. L'extraction de la racine d'une puissance d'un nombre peut s'effectuer par la division de l'exposant de cette puissance par l'indice de la racine, mais à la condition que le quotient sera entier, puisqu'un exposant doit l'être d'après sa définition. Si donc cette division n'était pas possible, on ne pourrait qu'indiquer l'opération par la notation des radicaux, et la simplification ne pourrait avoir lieu.

Ainsi i/ô^ pourra être représenté par a " quand m sera divisible par n, mais devra conserver sa première forme si cette division n'est pas possible.

Mais tant que m et n resteront indéterminés, on no

saura pas si — est entier, et, par conséquent, on devra

s'interdire cette représentation des racines par la division des exposants. Cependant celte manière uniforme de repré-

senter ces opérations offrirait tant de commodité, qu'il est naturel de chercher à quelles conditions on pourrait se la permettre.

Or on a facilement reconnu que, si Ton convient de dé-

signer généralement Va"^ par rt" , lors même que m n'est pas divisible par n, et qu'on traite ces exposants fractionnaires suivant les mêmes règles que les exposants entiers, pour les opérations analogues, le résultat ainsi obtenu sera toujours la représentation du véritable résultat, dans ce même mode de notation.

Ainsi, par exemple, si l'on a à multiplier entre elles les

deux quantités représentées par a" et a^ , il est facile de démontrer qu'en faisant la somme des exposants — j ->

. , ma -\- np r •

ce qui donne 5 et prenant cette fraction pour

exposant de a, l'expression ainsi obtenue,

7W<7 + np

sera la représentation du véritable produit dans le même système de notation.

En effet, « " , a'f représentent '\/a"'^ et ^aP . Or les règles pour le calcul des radicaux donneront, pour le produit de ces deux dernières quantités.

mfj-hnp

rnff ■+- np

dont a "'I est bien la représentation d'après la notation convenue.

On démontrera de même que, pour effectuer la division de deux radicaux représentés par des puissances fraction-