CONTINUITÉ

175. On dit qu'une quantité varie d'une manière continue lorsqu'elle ne passe d'une quelconque de ses valeurs à une autre quelconque qu'en passant par toutes les valeurs intermédiaires.

Une quantité qui dépend d'une variable est dite fonction continue de cette variable, lorsque, cette dernière passant successivement d'une valeur à une autre d'une manière continue, la fonction prend des valeurs réelles correspondantes, qui varient elles-mêmes d'une manière continue. Il arrive souvent que cette condition ne soit remplie qu'entre certaines limites de la variable dont elle dépend, et qui s'appelle variable indépendante, parce que ses valeurs sont choisies arbitrairement.

Sous cette dénomination de valeurs, nous comprenons les quantités négatives aussi bien que les positives, et nous entendons que les opérations s'effectuent suivant les règles des signes démontrées dans le cas des polynômes, et que l'ordre de grandeur de ces valeurs soit réglé comme il a été dit dans le Chapitre XIX.

Ainsi nous dirons qu'une variable est continue entre les valeurs — 4 6t — 7, lorsqu'elle ne passe de l'une à l'autre qu'en passant par toute valeur négative dont le nombre absolu est compris entre 4 et 7. Et si les valeurs limites que l'on désigne étaient de signes contraires, comme par exemple H- 3 et — 5 , nous appellerons continue entre ces limites une variable qui ne passera de l'une à l'autre qu'en passant par toutes les valeurs que nous appelons intermédiaires, d'après les explications données Ghap. XIX ; et ces valeurs sont tous les nombres positifs compris entre 3 et zéro, le nombre zéro lui-même, et tous les nombres négatifs de zéro à — 5. C'est là ce que nous entendrons toujours par continuité ', et c'est là ce qu'il faudra établir pour que la continuité soit démontrée.

176. Pour démontrer qu'une fonction qui, entre certaines limites de la variable, prend des valeurs réelles correspondant à chacune de celles de cette variable, est continue, il suffît de faire voir que l'on peut faire croître