CHAPITRE XXII

cette dernière par degrés assez petits pour que les chanj;ements correspondants de la fonction soient moindres ([u'une grandeur désignée quelconque.

En effet, supposons d'abord que toutes ces valeurs soient de même signe: si cette fonction, dont on peut considérer les valeurs absolues seulement, n'était pas continue, il faudrait qu'elle passât brusquement d'une certaine valeur à une autre, qui en différerait d'une quantité finie ; ce qui est absurde, puisque la variation de la fonction peut être rendue moindre que toute grandeur donnée. Donc, sous la condition admise, la fonction ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toute valeur intermédiaire ; elle est donc continue, soit que toutes ses valeurs soient positives, soit que toutes soient négatives.

177. Si la fonction passe du positif au négatif, et qu'il soit démontré qu'à partir de toute valeur de la variable entre les deux limites les accroissements de la fonction puissent devenir moindres que toute grandeur donnée, il est facile de démontrer qu'elle passera par toutes les valeurs intermédiaires entre deux quelconques de celles qu'elle peut prendre, les intermédiaires étant entendues comme nous l'avons expliqué, et zéro étant regardé comme compris entre deux nombres quelconques de signes contraires. Soient, en effet, -j- A et — B deux des valeurs de la fonction F (a?) ; prenons une quantité constante M plus grande que la plus grande valeur absolue des résultats négatifs que donne F(j:) pour toutes les valeurs de x\ les accroissements de la fonction M-!- F (j:) pourront, d'après l'hypothèse, avoir des valeurs moindres que toute quantité donnée, et, par conséquent, cette fonction toujours positive sera continue entre les mêmes limites, c'est-à-dire qu'elle passera par toutes les valeurs intermédiaires entre les deux extrêmes M -f- A et M — B. Elle passera donc

par la valeur M qui est comprise entre elles. Mais quand M-hF(x) sera réduit à M, F(j7) sera zéro; donc la fonction F(x) ne peut passer d'une valeur à une autre de signe contraire sans passer par zéro.

Maintenant, en partant de la valeur de x qui rend la l'onction nulle, et considérant les valeurs toujours positives que celle-ci prend d'un côté, puis les valeurs toujours négatives qu'elle prend de l'autre, on rentre dans le premier cas, où nous avons démontré la continuité. D'où se tire donc la conséquence générale suivante :

Si, à partir de toute valeur de x comprise entre deux limites déterminées, on peut donner àxun accroissement assez petit pour que la fonction prenne un accroissement moindre qu'une quantité désignée quelconque, cette fonction sera continue dans cet intervalle, c'est-à-dire qu'elle passera par toute valeur intermédiaire entre deux quelconques de celles qu'elle prendra, en entendant que les quantités négatives sont plus petites que zéro, et d'autant moindres que leur valeur absolue est plus grande.

Réciproquement, toute fonction continue jouit de la propriété que ses variations peuvent devenir moindres que toute quantité donnée, pourvu qu'on rende suffisamment petites celles de la variable dont elle dépend ; car si la variation de cette dernière, à partir d'une de ses valeurs, tendait vers zéro sans qu'il en fût de même de la variation de la fonction, il en résulterait que celle-ci passerait brusquement d'une valeur à une autre qui en différerait d'une quantité finie, et que, par conséquent, elle ne serait pas continue, comme on le suppose.

Donnons quelques applications simples de cette méthode pour reconnaître la continuité des fonctions.

178. Premier exemple. — Considérons d'abord la fonction ax"'^ de la variable x, a et m étant des quantités