CONSÉQUENCES IMPORTANTES DE LA CONTINUITÉ DES POLYNÔMES

184. Théorème I. — Si deux nombres p, q, substitués à X dans une fonction continue qui est le premier membre d'une équation, donnent des résultats de signes contraires, il y a entre eux une racine de cette équation.

En effet, puisque le premier membre est une fonction continue de x, si l'on fait passera; de la valeur p à la valeur q d'une manière continue, quels que soient les signes de /; et </, le premier membre de l'équation passera d'une manière continue d'une valeur à une autre de signe contraire, et par conséquent il passera par la valeur intermédiaire zéro. La valeur de x pour laquelle il deviendra nul sera racine de l'équation proposée, dont nous supposons toujours le second membre égal à zéro ; et, par conséquent, celle-ci aura une racine réelle comprise entre p et q.

185. Lemme. — Si l'on considère un monôme A:»'" et un polynôme de degré inférieur ax"^"^ -\- bx"'~"~P -r- . -> dont tous les termes sont pris avec le signe H- : i° il existe

une certaine valeur positive telle, que si l'on fait croître x indéfiniment à partir de cette valeur, le monôme sera constamment plus grand que le polynôme ; 2^ leur différence ira toujours en croissant et dépassera toute grandeur désignée.

i^ Posons l'inégalité

(1) Ax"' > ax"'-'' -4- bx"'~"-i' -T- . . . .

Si l'on divise les deux membres par x"'~", on en aura une nouvelle

et si l'une quelconque des deux est satisfaite par une valeur donnée à x, l'autre le sera.

Si l'on fait croître x indéfiniment, le premier membre croîtra sans limite, et le second tendra vers la limite a. Le premier membre deviendra dont nécessairement plus grand que le second. Or, si cette condition est remplie pour une certaine valeur l de x, elle le sera à plus forte raison pour toute valeur plus grande, puisque, le premier membre de (2) croissant avec x, tandis que le second décroît, l'excès du premier sur le second va en augmentant. La première partie de la proposition est donc démontrée.

2° Si l'on prend la différence du monôme au polynôme, qui est

( 3 ) Ax"' — {a x'"-" -i - b x"'-"-i' ^ . . . ) , ou

le facteur x"'~" croît constamment et sans limite avec x, et nous venons de démontrer que l'excès de A.r" sur