CHAPITRE XXII

I <7 H j-|- . . . j va aussi constamment en croissant; donc

le produit (4) et, par conséquent, son égal (3) croissent constamment avec X, et peuvent dépasser toute grandeur désignée.

Remarque. — Si le polynôme renfermait des termes négatifs, l'expression (3) devrait être augmentée de tous ces termes pris avec le signe ^- ; et, comme ils vont en augmentant indéfiniment avec .r, on peut dire à plus forte raison que la différence du monôme au polynôme croît constamment à partir d'une certaine valeur de x, et qu'elle peul dépasser toute grandeur désignée.

186. Si, au lieu de supposer que tous les termes du polynôme sont positifs et de degrés moindres que le monôme, on les supposait tous de degrés plus élevés, l'inégalité

{ 5 ) A-r"' > ax'"-^"- 4- b x"'^"^'' -r • • •

aurait lieu pour toutes les valeurs de x décroissant depuis une certaine valeur jusqu'à zéro.

En effet, cette inégalité entraîne comme conséquence la suivante, qui l'entraîne réciproquement :

(6) A> «x"-r- èar«-^/'-f-

Or, quand x tend vers zéro, le second membre de cette dernière tend vers la limite zéro, et, par conséquent, deviendra plus petit que A. Et à partir de toute valeur de x satisfaisant à (6), jusqu'à zéro, le second membre diminuant constamment, l'inégalité (6) sera toujours satisfaite et, par suite, l'inégalité (5). Si le polynôme renfermait des termes négatifs, l'inégalité (5), démontrée sans en tenir compte, aurait lieu à plus forte raison.

On peut donc énoncer cette proposition, dont les applications sont très-fréquentes et d'une grande importance :

Étant donnés un monôme Ax"* et un polynôme dont

2o8 SCIENCE DES NOMBRES.

tous les termes sont de degré supérieur à m, il existe une valeur déterminée de x telle, que toutes celles qui sont comprises entre elle et zéro rendent le monôme plus grand que le polynôme.

187. Théorème IL — Jhute équation de degré impaira au moins une racine réelle, de signe contraire à son dernier terme.

Nous entendons toujours qu'on a fait passer tous les termes de l'équation dans un même membre, de manière que le premier terme soit positif.

Gela posé, supposons d'abord le dernier terme négatif, et substituons successivement à x zéro et un nombre positil qui rende le premier terme pJus grand que la somme des termes négatifs, le premier membre sera négatif dans le premier cas, et positif dans le second. Donc^ entre zéro et ce nombre, il y a une certaine valeur qui rend le premier membre nul; l'équation a donc une racine réelle positive.

Si le dernier terme est positif, la substitution de zéro à X donnera un résultat positif; et l'on aura un résultat négatif en substituant à x un nombre négatif qui rende le premier terme plus grand en valeur absolue que tous les autres ajoutés en les prenant avec le même signe. Donc, entre zéro et ce nombre, il y aura une valeur de x qui rendra le premier membre nul ; et l'équation aura une racine négative.

Le théorème énoncé est donc démontré.

188. Théorème IIL — Toute équation de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative.

En effet, si l'on substitue zéro à x, on trouvera un résultat négatif; si l'on substitue, tantôt avec le signe -j-, tantôt avec le signe — , un nombre qui rende le premier terme plus grand que la somme des valeurs absolues de tous les