CHAPITRE XXIV

qui est évident d'après la forme même de la fonction F[c^(j^)]. On a donc ainsi deux fonctions qui donnent les mêmes résultats pour toutes les valeurs des variables dont elles dépendent, qui sont liées l'une à l'autre par une relation connue; et, par conséquent, la connaissance de l'une est ramenée à celle de l'autre, et généralement tout calcul dépendant de l'une peut être ramené à un calcul dépendant de l'autre.

193. Si, par exemple, F{x) est le premier membre d'une équation dont le second est zéro, la fonction F[y(j)] prenant les mêmes valeurs que F{x) quand les valeurs correspondantes de a:: et ^ satisferont à la relation

ces deux fonctions deviendront nulles en même temps ; et. par conséquent, les racines des deux équations

seront liées par cette même relation.

194. Appliquons ces considérations générales à quelques cas particuliers.

1° Supposons d'abord que les valeurs correspondantes de X et j^ doivent avoir une différence constante : l'équation x=^9(j^) deviendra

X ~jr -t- à;

la fonction F(x) deviendra

et les valeurs de ces deux fonctions seront les mêmes, pourvu que les valeurs de x surpassent de h les correspondantes de y.

2l6 SCIENCE DES NOMBRES.

Si maintenant on veut faire servir cette transformation à simplifier la fonction, on cherchera quelle valeur il faudrait donner à h pour y parvenir; et si cela est possible, le changement de variable aura été avantageux.

Prenons, par exemple, pour F(x) le polynôme à exposants entiers

posant

x zz^j -{- /^,

on obtient, pour F[çp(j^)],

A(j-f-^)"^-l-B(j + A)'«~i-r-C(j-f-A)'"-2-i-. ..-L-T(j-l-A)-hU.

Développant les puissances du binôme [x -^- h) d'après la formule connue, et ordonnant par rapport à jj ce polynôme prendra la forme

h^ -:- B (m — i)^ -i- C |jr'«-2 -+-...

-f- [kh"' -I- BA'«-i -f- . . . -f- TA -f- U) ;

et l'on remarquera qu'il est du même degré en y que le proposé en x, que le coefficient du premier terme est le même, et que le terme indépendant de y n'est autre chose que le polynôme proposé, dans lequel x est remplacé par h, qui sera traité suivant les règles des signes s'il est négatif. Tous les coefficients des puissances de y, excepté le premier, dépendant de A, on peut donner à cette lettre une valeur qui annule l'un quelconque d'entre eux. Celui qu'il importe ordinairement le plus de faire disparaître est celui de la puissance la plus élevée, qui est la (m — i^eme . et il faut pour cela poser

A/wA -4- B =::: G,