CHAPITRE XXIV

d'où

h -'- — - et r- ?-

Telle est la transformation propre à faire disparaître le terme de degré m — i .

Si le polynôme proposé est le premier membre d'une équation, le polynôme en j sera celui d'une autre équation dont* les racines seront égales à celles de la proposée,

diminuées de la quantité h\ et en prenant h =^ — — -,

la nouvelle équation sera privée du second terme, ce qui est presque toujours d'une grande utilité.

195. 2° Proposons-nous maintenant que les valeurs correspondantes de ^ et j^ soient dans un rapport constant ou que l'on ait x = olj, ol étant une constante quelconque, positive ou négative, c'est-à-dire étant indépendant de x et j^. La fonction F(x) sera changée en F(aj^), et l'on entend qu'on effectuera les calculs suivant les règles ordinaires des signes, si a est négatif. Il est évident que, si une valeur a mise pour y donne un certain résultat pour F(aj^), a a mis pour x dans F(x) donnera le même résultat, en suivant les mêmes règles des signes.

Si, par exemple, on suppose que F(x) soit un polyhôme de degré /w, et doive être égalé à zéro, on aura l'équation

(l) Ax'« -f- Bx'"-1 -h . . . H- T.r -!- U =::.• G.

La transformation que nous venons d'indiquer conduit à

( 2 ) Aa'" j'« -f- Ba"'--» j"'-» |- . . . i- Ta j -f- U = o,

où les puissances de a doivent être formées en suivant les règles ordinaires des signes, et, à cette condition, les racines de cette équation multipliées par a et traitées suivant ces

2l8 SCIENCE DES NOMBRES.

mêmes règles seront les racines de la proposée. Si a =■- — i , les racines de l'équation en y seront celles de l'équation en Xy changées respectivement de signes ; et l'on voit que l'équation en j ne diffère de celle en x que par le changement de signe des termes de degré impair, et la substitution de la lettre y k jc. Il n'y aurait au reste aucun inconvénient à conserver la lettre x au lieu de j; le changement de signe des termes de degré impair produirait toujours le changement de signe de toutes les racines, et le changement de signe des termes de degré pair produirait le même effet, car c'est à cette forme qu'on parviendra en changeant d'abord le signe des termes de degré impair, et ensuite de tous les termes.

Remarque. — Les deux transformations que nous venons de faire successivement pourraient être faites à la fois ; car poser d'abord x^=^ z A~h pour avoir une équation en z, puis poser z = aj, revient à poser x -- oty -h h ; et cette remarque s'applique également au cas d'une fonction variable, non égale à zéro.

196. La dernière transformation que nous venons de faire sur une équation dont le premier membre est im polynôme entier et rationnel en x peut servir à ramener la résolution de toute équation de cette forme à celle d'une autre dont tous les coefficients soient entiers, et celui du premier terme égal à l'unité. Or cette dernière forme est très-avantageuse dans la recherche des racines.

Pour opérer cette réduction, nous supposerons d'abord que les coefficients de l'équation (i) soient tous entiers, ce qui a pu être obtenu immédiatement par la multiplication de tous les termes.

Ayant obtenu l'équation (2), on aperçoit de suite que, si

l'on prenait a =: - -, le facteur A du premier terme serait