CHAPITRE II
pour but de réunir plusieurs nombres en un seul qui soit égal à leur somme. Si l'on voulait ajouter successivement à l'un d'eux toutes les unités simples qui composent les autres, l'opération serait d'une longueur fastidieuse, et par suite sujette à beaucoup d'erreurs; mais la décomposition uniforme des nombres et l'écriture si simple qui en a été la conséquence conduisent, par une analyse bien naturelle, à une règle de pratique d'une très-grande brièveté.
En effet, le principe précédemment admis, que la somme de plusieurs nombres est indépendante de l'ordre dans lequel on ajoute leurs diverses parties, permet de ramener la question à une plus simple qui consisterait à ajouter entre elles toutes les unités de premier ordre, puis entre elles toutes les unités de second ordre, et ainsi de suite jusqu'aux plus élevées ; et les opérations partielles auxquelles on est ainsi conduit, et qui sont en très-petit nombre, s'effectuent immédiatement, puisque tous les nombres à ajouter y sont au-dessous de dix. Mais cependant tout n'est pas fini, parce que la somme trouvée pour les unités d'une même espèce peut dépasser neuf et ne pourrait pas alors être écrite au rang correspondant dans la somme. Ce qui se présente tout naturellement dans ce cas, c'est de les réunir en groupes de dix et d'ajouter aux unités immédiatement supérieures autant d'unités qu'il y a de ces groupes ; il restera ainsi dans chaque ordre un nombre d'unités audessous de dix, et la somme se trouvera faite et écrite trèspromptement. Et la règle qui énonce le procédé que nous venons d'indiquer est applicable à tous les nombres, c'est-àdire qu'elle est générale.
26. Soustraction. — Cette opération a pour objet la détermination de ce qui reste d'un nombre quand on en retranche un autre, ou, en d'autres termes, de la différence de deux nombres donnés.
3o SCIENCE DES NOMBRES.
Des remarques analogues à celles que nous avons faites pour l'addition conduisent naturellement à retrancher, si cela se peut, les unités de divers ordres qui composent le plus petit nombre de leurs correspondantes dans le plus grand. Mais, si le nombre des unités d'un certain ordre est plus grand dans le petit nombre que dans l'autre, on emploie un artifice très-simple fondé sur ce principe évident, que la différence de deux nombres n'est pas changée quand on les augmente également tous les deux. D'après cela, si le chiffre d'un certain ardre du grand nombre est moindre que le correspondant du petite, on l'augmente de dix des unités qu'il représente, qui en valent une de l'ordre suivant; alors la soustraction des deux chiffres peut se faire, et le reste sera moindre que neuf. Mais, pour ne pas changer la différence des deux nombres proposés, il faudra ajouter au petit nombre, comme on l'a fait au grand, une unité de l'ordre suivant. De là résulte une règle fort simple pour l'exécution de l'opération. Et cette règle est générale, car les raisonnements que nous venons de faire s'appliquent à tous les nombres.
27. Multiplication. — Cette opération a pour objet de trouver le résultat de la répétition d'un même nombre. Cette question se présente à chaque instant dans la vie ordinaire ; par exemple, lorsque l'on veut connaître le prix d'un nombre donné d'unités quand on connaît le prix d'une seule : il est évident que pour cela il faut répéter le nombre qui exprime le prix de l'unité autant de fois qu'il y a d'unités.
On pourrait bien exécuter cette opération en ajoutant à lui-même le nombre qui doit être répété; mais, s'il doit l'être un très-grand nombre de fois, ce moyen serait d'une longueur rebutante et, par suite, sujet à beaucoup d'erreurs ; l'objet qu'on se propose est d'exécuter cette addition d'une manière abrégée.
