CHAPITRE II. 3l

La démonstration exacte de ce procédé et les applications de cette opération se fondent sur quelques théorèmes dont nous dirons quelques mots, ne fût-ce que pour faire comprendre comment on peut obtenir, dès les commencements de l'Arithmétique, des propositions générales, aussi bien qu'on le fera plus tard avec des moyens plus puissants.

28. Le premier de ces théorèmes consiste en ce que, dans quelque ordre qu'on multiplie deux nombres, on a toujours le même produit Pour le démontrer, concevons que le nombre qui doit être répété, et qu'on nomme le multiplicande, soit réellement répété autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur. Dans chacun de ces multiplicandes répétés, considérons une première unité, nous aurons ainsi un nombre égal au multiplicateur. Gonsidérons-y de même une seconde unité, nous obtiendrons une seconde fois le multiplicateur. Continuons ainsi jusqu'à la dernière unité de tous les multiplicandes, nous obtiendrons une dernière fois le multiplicateur. Ce dernier se trouvera donc répété autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicande; et, comme toutes les unités qui se trouvaient dans la somme des multiplicandes n'ont été prises chacune qu'une seule fois et qu'aucune n'a été omise, nous concluons de là qu'on obtient le même nombre en répétant le multiplicateur autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicande qu'en répétant le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur, ce qui est précisément le théorème énoncé. Et il est démontré généralement, puisque nos raisonnements ont été faits sans particulariser les deux nombres.

29. Dans cette démonstration, nous n'avons désigné les nombres que parle rôle qu'ils jouent dans la question; et c'est à cela qu'est due la généralité de la conclusion, puisqu'elle doit alors s'appliquer à tous les nombres qui

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seraieQt dans les mêmes conditions. Mais cette manière de procéder entraîne des longueurs dans le langage et rend plus difficiles à saisir les déductions dont les termes sont éloignés. Dans la question précédente, qui est fort simple, cet inconvénient n'est pas très-frappant; mais, pour s'en faire une idée exacte, il suffit de lire quelques démonstrations compliquées dans les ouvrages des plus grands géomètres de l'antiquité. Nous croyons donc utile de faire connaître un procédé plus simple, qui rend le langage plus rapide sans nuire à la généralité des résultats. Il consiste à représenter les données par des nombres particuliers, en ayant soin que tous les raisonnements s'appliquent aussi bien à d'autres nombres qu'à ceux que l'on a choisis pour fixer les idées et abréger le discours. Pour le faire comprendre par un exemple simple, nous l'appliquerons à la question même que nous venons de traiter.

En désignant par yg et 48 les deux nombres à multiplier, nous nous proposons de démontrer que 79 répété 48 fois donne le même résultat que 48 répété 79 fois, ou, en indiquant la multiplication par un point interposé entre les deux facteurs que 79.48 est égal à 48.79-

Représentons-nous d'abord le premier produit formé de 48 nombres égaux à 79, et prenons à chacun d'eux une première unité, nous en obtiendrons ainsi 48. Prenons-en une seconde à chacun, nous en aurons encore 48. Une troisième nous donnera une troisième fois 48 ; et enfin, quand nous arriverons à la dernière, c'est-à-dire à la soixante-dixneuvième unité, nous aurons une soixante-dix-neuvième fois 48. Donc toutes les unités qui sont dans 79 répété 48 fois équivalent à 48 répété 79 fois.

Or il n'est personne qui ne comprenne que la conclusion serait identique si l'on avait choisi deux autres nombres, et que ceux-ci n'ont été pris que pour la commodité du langage. On a donc ainsi la conviction pleine et entière