MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS

199. Lorsqu'on connaît la forme d'une fonction de x^ et qu'il n'y a d'inconnu que certaines constantes qu'elle renferme, on cherche par les moyens ordinaires les équations qui résultent des conditions de la question, et, lorsqu'on en a tiré les valeurs des inconnues, la fonction est complètement déterminée.

Dans beaucoup de qviestions ces constantes inconnues sont les coefficients des différentes puissances de polynômes, et dans ce cas on les appelle ordinairement des coefficients indéterminés. Les signes seront toujours entendus comme précédemment pour la généralité des résultats ; nous nous dispenserons dorénavant d'en prévenir.

200. Pour en donner un premier exemple, supposons qu'on veuille trouver le quotient de deux polynômes et le reste de la division. Soient ces deux polynômes :

(l) ar"» -f- Ax'"-i -^ Bx'"-* -i- . . . -I- T.r H- U

et

m étant supposé plus grand que n. On demande que le quotient soit poussé jusqu'au terme indépendant de Jc, et que, par conséquent, le reste soit un polynôme de degré n — I.

Le quotient et le reste auront respectivement les formes

suivantes :

( 3 ) x""-"" -1- a.r^-«-i -f- ga;'»-"-^ ^ ■ . . . -I- >>x -:- ^,

et

Les inconnues a, ê, . . . , /ui, M, . . . , S sont ce qu'on appelle des coefficients indéterminés; et pour avoir les équations qui en feront connaître la valeur, il suffit de se rappeler que, d'après la manière dont s'obtient le reste de la division, si l'on fait le produit du diviseur par le quotient, et qu'on y ajoute le reste, la somme réduite sera un polynôme identique terme pour terme au dividende. C'est donc cette identité qui est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes (3 ) et (4) soient l'unie quotient, l'autre le reste demandé.

Le produit des polynômes (2), (3) renfermera les coefficients a, ê, . . . , Il diU. premier degré seulement, et, en y ajoutant le reste (4), on obtiendra un polynôme du degré m, dont les coefficients ne renfermeront qu'au premier degré tous les coefficients indéterminés du quotient et du reste. Egalant, comme nous avons dit qu'il fallait faire, les coefficients de ce polynôme aux correspondants du dividende (i), on aura m équations du premier degré entre les m inconnues a, S, . . . , w. M, N, . . . , S ; c'est à la résolution de ces équations que le problème proposé se trouve ramené, et la forme de ces équations rend cette résolution extrêmement facile.

201. Si, au lieu de chercher le quotient et le reste, on avait voulu connaître les conditions pour que la division réussît exactement, le reste devant être zéro, par la réduction des termes semblables, les coefficients désignés par M, N, . . . , S devraient être nuls, et le nombre des inconnues serait réduit km — n. Mais comme le nombre des équations