CHAPITRE XXV

à satisfaire est toujours m, il y aurait n équations de condition entre les coefficients A, B, . . . , U, «, ^, ...,</; et on les obtiendrait en éliminant a, S, . . . , [j. entre les m équations.

Nous avons déjà traité cette question par un autre procédé dans le Chapitre XVII.

202. Descartes, à qui l'on doit la première idée de cette méthode, y a été conduit lorsque, dans la solution du problème des tangentes par le calcul, il a eu à trouver les conditions pour qu'un polynôme de degré quelconque en x admette un diviseur qui soit le carré d'un binôme du premier degré. Il a remarqué qu'il fallait pour cela que ce polynôme fût le produit d'un binôme de la forme

jc^ — la.T -î- a^ par un polynôme de degré in — 2 de la forme

a, ê, . . . , |:ji pouvant être des quantités quelconques. Il fait alors le produit de ce dernier par jc^ — 2 ax -\- a^, et, après la réduction des termes semblables, il égale les coefficients des différentes puissances de a: à ceux du polynôme proposé, ce qui donne m équations. Il en élimine les m — 2 indéterminées a, ê, ..., /:x, et il reste deux équations qui ne renferment plus que a et les coefficients donnés. Si a n'est pas fixé, on l'éliminera lui-même, et l'on aura la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients du polynôme pour qu'il ait un facteur du second degré qui soit un carré parfait. Si a était un nombre donné, il y aurait deux équations de condition entre les coefficients.

Descartes a encore appliqué cette méthode à la décomposition d'un polynôme du quatrième degré en deux facteurs du second. Nous renverrons au Chapitre suivant la