CHAPITRE XXVI

connaître dans le Chapitre XXIV, on peut la débarrasser du second terme ; il suffit pour cela de poser

l'équation en j ne renfermera que la troisième et la première puissance àe j. Supposant donc cette simplification opérée, et employant, suivant notre habitude, la lettre a: pour représenter l'inconnue, le problème que nous nous proposons est de trouver toutes les solutions de l'équation suivante, où les coefficients peuvent avoir implicitement des signes quelconques, afin que les résultats puissent s'appliquer à tous les cas particuliers,

{ I ) x^ ~\- px ~^.- q - - o.

Nous allons chercher à ramener la détermination de x à celle de deux parties, dans lesquelles nous le supposerons décomposé d'une manière indéterminée. Et nous faisons cela avec la pensée que la suite du calcul pourra nous indiquer quelque moyen de profiter de cette indétermination pour introduire quelques simplifications. On n'est pas absolument sûr que cette réduction sera avantageuse ; mais elle peut être tentée, et l'on est presque toujours obligé de procéder ainsi.

Posant donc

en entendant que j^ et z peuvent être quelconques, et substituant dans (i), on trouve, comme conséquence, avec réciprocité,

X^ -:- 3/^2 -.-■ 3yz^- -,~ z^~\-p (x H- z) -t- q -jz-z 0, ou

Et comme les deux indéterminées y et z ne sont tenues de

23o SCIENCE DES NOMBRES.

satisfaire qu'à cette seule équation, on peut établir entre elles telle autre condition qu'on voudra. On aperçoit de suite que celle qu'il convient de choisir est la suivante :

( 3 ) 3yz '\-p r^z o ou yz ■—-. — -- •

Car l'équation (2) se réduira à

(4) f -^z^-^qz-o^

qui devra être satisfaite en même temps que (3); et réciproquement, si elles le sont, (2) le sera, et par suite (i). Et, comme nous allons le voir, les deux équations (3) et (4) déterminent les valeurs de j^ et z; d'où résultera, en les ajoutant, la formule générale de x qui satisfait à l'équation proposée (i).

En effet, l'équation (4) fait connaître la somme des cubes de j" et z\ l'équation (3), donnant le produit de j)^ et z, donne par suite le produit de leurs cubes : on connaîtra donc la somme et le produit de ces cubes, qui seront par conséquent les deux racines d'une équation du second degré connue; on connaîtra donc ces cubes, et, par suite, ces quantités mêmes, d'où x se déduira, en les ajoutant. Reste donc à effectuer le calcul que nous venons d'indiquer. Les équations (3) et (4) donnent

et il est toujours entendu que nous cherchons des expressions positives ou négatives, réelles ou imaginaires, qui satisfassent aux équations, en effectuant les opérations suivant les règles tant de fois rappelées dans ce qui précède. Mais, avant d'aller plus loin, voyons si l'équation (6), qui se déduit de (3), l'entraîne réciproquement; sans quoi